Gelöste Übung zu Magnetfeld

An einem Ort in São Paulo (brasilianische Stadt) hat der Vektor des Erdmagnetfeldes den Betrag \( B_{\small T}=8 \pi \times 10^{–6} \mathrm T \). An diesem Punkt wird eine Spule so positioniert, dass ihre Achse parallel zum Erdmagnetfeld \( \vec B_{\small T} \). verläuft. Die Länge der Spule beträgt 0,25 m, und sie besitzt 500 Windungen. Berechnen Sie die Stromstärke, die durch die Spule fließen muss, damit das Magnetfeld im Inneren der Spule null ist. Magnetische Permeabilität des Vakuums ist \( \mu_0=4\pi \times 10^{-7}\;\mathrm{\frac{T.m}{A}} \).

Gegebene Daten:

Länge der Spule: ℓ = 0,25 m;
Anzahl der Windungen der Spule: N = 500 Windungen;
Magnetfeld am Ort: \( B_{\small T}=8 \pi \times 10^{–6} \mathrm T \);
Magnetische Permeabilität des Vakuums: \( \mu_0=4\pi \times 10^{-7}\;\mathrm{\frac{T.m}{A}} \).

Problem-Skizze:

Wir wählen die Richtung des Erdmagnetfeldes, \( \vec B_{\small T} \), als positiv (siehe Abbildung 1).

Abb. 1

Lösung:

Der resultierende Vektor des Magnetfeldes ergibt sich zu

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec B=\vec B_{\small S}+\vec B_{\small T}} \end{gather} \]

Im Betrag gilt für ein verschwindendes resultierendes Magnetfeld die Bedingung

\[ \begin{gather} B_{\small T}-B_{\small S}=0 \tag{I} \end{gather} \]

Der Betrag des Magnetfeldes einer Spule ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B_{\small S}=\mu_0\frac{N}{\ell}i} \tag{II} \end{gather} \]

Wenn wir die Gleichung (II) für das Magnetfeld der Spule in die Gleichung (I) einsetzen

\[ \begin{gather} B_{\small T}-\mu_0\frac{N}{\ell}i=0 \\[5pt] i=\frac{B_{\small T} \ell}{\mu_0 N} \\[5pt] i=\frac{8\cancel{\pi}\times10^{-6}\times 0,25}{4\cancel{\pi}\times 10^{-7}\times 500} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=0,01\;\mathrm A=10\;\mathrm{mA}} \end{gather} \]

Anmerkung: Die Anzahl der Windungen, 500, ist eine dimensionslose Zahl. Eine Windung ist keine physikalische Größe und erscheint daher nicht in der endgültigen Einheit des Problems.

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