Un anello di raggio a è caricato con una carica la cui densità varia direttamente con la posizione angolare.
Tra i punti 0 e 2π, vi è una membrana molto sottile di materiale isolante che separa questi due punti. Calcolare
il vettore campo elettrico in un punto P sull’asse di simmetria perpendicolare al piano dell’anello a una
distanza z dal suo centro.
Dati del problema:
- Raggio dell’anello: a;
- Distanza dal punto in cui si vuole il campo elettrico: z.
Schema del problema:
La densità lineare di carica dell’anello è direttamente proporzionale alla posizione angolare della carica
(Figura 1).
\[
\begin{gather}
\lambda(\theta)=\alpha\theta \tag{I}
\end{gather}
\]
dove
α è una costante che rende l’equazione dimensionalmente consistente. I punti zero e 2π
rappresentano lo stesso punto dell’anello, ciò significa che vi sono due densità di carica differenti per lo stesso
punto. Per risolvere questa inconsistenza, il problema ci dice che esiste una membrana isolante molto sottile,
quindi fisicamente i due punti con cariche differenti sono separati e matematicamente possiamo effettuare
l’integrazione da 0 a 2π.
Il vettore posizione r va da un elemento di carica dell’anello dq fino al punto P, dove si
desidera calcolare il campo elettrico; il vettore rq localizza l’elemento di carica rispetto
all’origine del sistema di riferimento e il vettore rp localizza il punto P
(Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Dalla geometria del problema dobbiamo scegliere coordinate cilindriche (Figura 2-B). Il vettore
rq, che si trova nel piano xy, è scritto come
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
e il vettore rp possiede soltanto la componente nella direzione k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
il vettore posizione sarà
\[
\begin{gather}
\mathbf r=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf r=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
Dall’equazione (II) il modulo del vettore posizione r sarà
\[
\begin{gather}
r^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
dove x, y e z, in coordinate cilindriche, sono dati da
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Soluzione:
Il vettore campo elettrico è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{V}
\end{gather}
\]
Dall’equazione della densità lineare di carica λ otteniamo l’elemento di carica dq.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda(\theta)=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda(\theta)\;ds \tag{VI}
\end{gather}
\]
dove ds è un elemento di arco di angolo dθ dell’anello (Figura 3).
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
sostituendo le equazioni (I) e (VII) nell’equazione (VI).
\[
\begin{gather}
dq=\alpha\theta a\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Sostituendo le equazioni (II), (III) e (VIII) nell’equazione (V).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^3}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
sostituendo le equazioni (IV) nell’equazione (IX).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(a\cos\theta\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\cos^2\theta+a^2\operatorname{sen}^2\theta+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\right)}_1+z^2\;\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
La costante di proporzionalità α e il raggio a sono costanti, possono uscire dall’integrale, e
l’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
I estremi di integrazione saranno 0 e 2π (un giro completo sull’anello).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\)
Usando l’
Integrazione per Parti
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
scegliamo
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\cos\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=\operatorname{sen}\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\left(-\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times\operatorname{sen}2\pi-0\times\operatorname{sen}0\right)+\left(\cos 2\pi-\cos 0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times 0-0\times 0\right)+\left(1-1\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=0
\end{gather}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\)
Usando l’
Integrazione per Parti
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
scegliamo
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=-\cos\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}-\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times\cos 2\pi-0\times\cos 0\right)+\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times 1-0\times 1\right)+\left(0-0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-2\pi
\end{gather}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta=\left.\frac{\theta^2}{2}\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{4\pi^2}{2}-0=2\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-a(-2\pi)\;\mathbf j+z\;(2\pi^2)\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2\pi a\;\mathbf j+2\pi^2z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
FR
PT-BR
