Un aro de radio a está cargado con una carga cuya densidad varía directamente con la posición angular. Entre
los puntos 0 y 2π, hay una membrana muy fina de material aislante separando esos dos puntos. Calcule el vector
campo eléctrico en un punto P sobre el eje de simetría perpendicular al plano del aro a una distancia
z de su centro.
Datos del problema:
- Radio del aro: a;
- Distancia al punto donde se quiere el campo eléctrico: z.
Esquema del problema:
La densidad lineal de carga del aro es directamente proporcional a la posición angular de la carga (Figura 1).
\[
\begin{gather}
\lambda(\theta)=\alpha\theta \tag{I}
\end{gather}
\]
donde
α es una constante que hace que la ecuación sea dimensionalmente consistente. Los puntos 0 y
2π representan el mismo punto del aro, esto quiere decir que existen dos densidades de carga diferentes para el
mismo punto. Para resolver esta inconsistencia, el problema nos dice que hay una membrana aislante muy fina, así
físicamente los dos puntos con cargas diferentes están separados y matemáticamente podemos hacer la integración
de 0 a 2π.
El vector posición r va desde un elemento de carga del aro dq hasta el punto P, donde se desea
calcular el campo eléctrico; el vector rq localiza el elemento de carga con relación al
origen del sistema de referencia y el vector rp localiza el punto P (Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Por la geometría del problema debemos elegir coordenadas cilíndricas (Figura 2-B). El vector
rq, que está en el plano xy, se escribe como
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
y el vector rp solo posee componente en la dirección k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
el vector posición será
\[
\begin{gather}
\mathbf r=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf r=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
De la ecuación (II), el módulo del vector posición r será
\[
\begin{gather}
r^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
donde x, y y z, en coordenadas cilíndricas, están dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Solución
El vector campo eléctrico está dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{V}
\end{gather}
\]
De la ecuación de la densidad lineal de carga λ obtenemos el elemento de carga dq.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda(\theta)=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda(\theta)\;ds \tag{VI}
\end{gather}
\]
donde ds es un elemento de arco de ángulo dθ del aro (Figura 3).
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
sustituyendo las ecuaciones (I) y (VII) en la ecuación (VI).
\[
\begin{gather}
dq=\alpha\theta a\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Sustituyendo las ecuaciones (II), (III) y (VIII) en la ecuación (V).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^3}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
sustituyendo las ecuaciones de (IV) en la ecuación (IX).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(a\cos\theta\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\cos^2\theta+a^2\operatorname{sen}^2\theta+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\right)}_1+z^2\;\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
La constante de proporcionalidad α y el radio a son constantes, por lo que pueden salir de la
integral, y la integral de la suma es igual a la suma de las integrales.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Los límites de integración serán 0 y 2π (una vuelta completa en el aro).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\)
Usando
Integración por Partes
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
elegimos
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\cos\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=\operatorname{sen}\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\left(-\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times\operatorname{sen}2\pi-0\times\operatorname{sen}0\right)+\left(\cos 2\pi-\cos 0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times 0-0\times 0\right)+\left(1-1\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=0
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\)
Usando Integración por Partes
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
elegimos
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=-\cos\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}-\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times\cos 2\pi-0\times\cos 0\right)+\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times 1-0\times 1\right)+\left(0-0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta=\left.\frac{\theta^2}{2}\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{4\pi^2}{2}-0=2\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-a(-2\pi)\;\mathbf j+z\;(2\pi^2)\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2\pi a\;\mathbf j+2\pi^2z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
DE
EN
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PT-BR
