Ein Ring mit Radius a ist mit einer Ladung geladen, deren Dichte direkt von der Winkelposition abhängt.
Zwischen den Punkten 0 und 2π befindet sich eine sehr dünne Membran aus isolierendem Material, die diese beiden
Punkte voneinander trennt. Berechnen Sie den elektrischen Feldvektor an einem Punkt P auf der Symmetrieachse
senkrecht zur Ebene des Rings in einer Entfernung z von seinem Mittelpunkt.
Gegebene Daten:
- Radius des Rings: a;
- Abstand zum Punkt, an dem das elektrische Feld berechnet werden soll: z.
Schema des Problems:
Die lineare Ladungsdichte des Rings ist direkt proportional zur Winkelposition der Ladung (Abbildung 1).
\[
\begin{gather}
\lambda(\theta)=\alpha\theta \tag{I}
\end{gather}
\]
wobei
α eine Konstante ist, die die Gleichung dimensionsmäßig konsistent macht. Die Punkte 0 und
2π stellen denselben Punkt des Rings dar, das bedeutet, dass es zwei verschiedene Ladungsdichten für denselben
Punkt gibt. Um diese Inkonsistenz zu beseitigen, sagt uns das Problem, dass es eine sehr dünne isolierende Membran
gibt, physikalisch sind also die beiden Punkte mit unterschiedlichen Ladungen voneinander getrennt, und mathematisch
können wir die Integration von 0 bis 2π durchführen.
Der Ortsvektor r geht von einem Ladungselement dq des Rings bis zum Punkt P, an dem das
elektrische Feld berechnet werden soll, der Vektor rq lokalisiert das Ladungselement relativ
zum Ursprung des Bezugssystems, und der Vektor rp lokalisiert den Punkt P
(Abbildung 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Aus der Geometrie des Problems folgt, dass wir Zylinderkoordinaten wählen müssen (Abbildung 2-B). Der Vektor
rq, der in der xy-Ebene liegt, wird geschrieben als
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
und der Vektor rp besitzt nur eine Komponente in Richtung k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
der Ortsvektor ist somit
\[
\begin{gather}
\mathbf r=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf r=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
Aus Gleichung (II) ergibt sich für den Betrag des Ortsvektors r
\[
\begin{gather}
r^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
wobei x, y und z in Zylinderkoordinaten gegeben sind durch
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\sin\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Lösung:
Der Vektor des elektrischen Feldes ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{V}
\end{gather}
\]
Aus der Gleichung der linearen Ladungsdichte λ erhalten wir das Ladungselement dq.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda(\theta)=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda(\theta)\;ds \tag{VI}
\end{gather}
\]
wobei ds ein Bogenelement mit Winkel dθ des Rings ist (Abbildung 3).
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichungen (I) und (VII) in die Gleichung (VI).
\[
\begin{gather}
dq=\alpha\theta a\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Durch Einsetzen der Gleichungen (II), (III) und (VIII) in die Gleichung (V).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^3}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichungen (IV) in die Gleichung (IX).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(a\cos\theta\right)^2+\left(a\sin\theta\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\sin\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\sin\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)}_1+z^2\;\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\sin\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\sin\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
Die Proportionalitätskonstante α und der Radius a sind konstant, sie können aus dem Integral
herausgezogen werden, und das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int\theta\sin\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Die Integrationsgrenzen sind 0 und 2π (eine vollständige Umdrehung entlang des Rings).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\)
Unter Verwendung der
Partiellen Integration
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
wählen wir
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\cos\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=\sin\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\sin\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\sin\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\left(-\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\sin\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times\sin 2\pi-0\times\sin 0\right)+\left(\cos 2\pi-\cos 0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times 0-0\times 0\right)+\left(1-1\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=0
\end{gather}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta\)
Unter Verwendung der
Partiellen Integration
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
wählen wir
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\sin\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=-\cos\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}-\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\sin\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times\cos 2\pi-0\times\cos 0\right)+\left(\sin 2\pi-\sin 0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times 1-0\times 1\right)+\left(0-0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\sin\theta\;d\theta=-2\pi
\end{gather}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta=\left.\frac{\theta^2}{2}\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{4\pi^2}{2}-0=2\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-a(-2\pi)\;\mathbf j+z\;(2\pi^2)\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2\pi a\;\mathbf j+2\pi^2z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
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