Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Um aro de raio a está carregado com uma carga cuja densidade varia diretamente com a posição
angular, entre os pontos zero e 2π há uma membrana muito fina de material isolante separando esses
dois pontos. Calcule o vetor campo elétrico em um ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular
ao plano do aro a uma distância z do seu centro.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
A densidade linear de carga do aro é diretamente proporcional à posição angular da carga (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\lambda (\theta )=\alpha \theta \tag{I}
\end{gather}
\]
onde α é uma constante que torna a expressão dimensionalmente consistente. Os pontos zero e 2π
representam o mesmo ponto do aro, isto quer dizer que há duas densidades de carga diferentes para o
mesmo ponto. Para resolver esta inconsistência o problema nos diz que há uma membrana isolante muito
fina, assim fisicamente os dois pontos com cargas diferentes estão separados e matematicamente podemos
fazer a integração de zero a 2π.
O vetor posição r vai de um elemento de carga do aro dq até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q}
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 2-B), o vetor rq, que está no plano xy, é escrito como \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp só possui componente na direção k, \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \), o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=z\;\mathbf{k}-\left(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)\\[5pt]
\mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da expressão (II) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+z^{2}\\[5pt]
r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Solução
O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda (\theta )=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda (\theta )\;ds \tag{VI}
\end{gather}
\]
Figura 3
onde ds é um elemento de arco de ângulo dθ do aro (Figura 3)
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (VII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
dq=\alpha \theta a\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (II), (III) e (VIII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (IV) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta }{\left[\left(a\cos \theta\right)^{2}+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta }{\left[a^{2}\cos^{2}\theta +a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta}{\left[a^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\right)}_{1}+z^{2}\;\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\alpha \theta a\;d\theta}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}
\end{gather}
\]
A constante de proporcionalidade α e o raio a são constantes eles podem “sair” da integral, e
a integral da soma igual à soma das integrais
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int \theta \cos\theta \;d\theta \;\mathbf{i}-a\int \theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;\mathbf{j}+z\int\theta \;d\theta \;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão 0 e 2π (uma volta completa no aro)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int _{0}^{{2\pi}}\theta \cos \theta \;d\theta \;\mathbf{i}-a\int_{0}^{{2\pi }}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{j}+z\int _{0}^{{2\pi }}\theta \;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int _{0}^{{2\pi }}\theta \cos \theta \;d\theta \)
Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
\[
\begin{align}
u=\theta \qquad \qquad & v'=\cos \theta\\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=\operatorname{sen}\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int _{0}^{{2\pi }}\theta \cos \theta \;d\theta=\theta \operatorname{sen}\theta \;|_{\;0}^{\;2\pi }-\int _{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta \cos\theta \;d\theta =\theta \operatorname{sen}\theta \;|_{\;0}^{\;2\pi}-\left(-\cos \theta \;|_{\;0}^{\;2\pi }\right)\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi}}\theta \cos \theta \;d\theta =\theta \operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi }+\cos \theta \;|_{\;0}^{\;2\pi }\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi}}\theta \cos \theta \;d\theta =\left(2\pi .\operatorname{sen}2\pi-0.\operatorname{sen}0\right)+\left(\cos 2\pi -\cos 0\right)\\[5pt]
\int_{0}^{{2\pi }}\theta \cos \theta \;d\theta =\left(2\pi.0-0.0\right)+\left(1-1\right)\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta \cos \theta\;d\theta =0
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int _{0}^{{2\pi }}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\operatorname{sen}\theta\\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=-\cos \theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int _{0}^{{2\pi }}\theta \operatorname{sen}\theta\;d\theta =-\theta \cos \theta \;|_{\;0}^{\;2\pi }-\int _{0}^{{2\pi}}-\cos \theta \;d\theta \\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta =-\theta \cos \theta\;|_{\;0}^{\;2\pi }+\int _{0}^{{2\pi }}\cos \theta \;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{{2\pi }}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta =-\theta \cos\theta \;|_{\;0}^{\;2\pi }+\operatorname{sen}\theta \;|_{\;0}^{\;2\pi}\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta=-\left(2\pi .\cos 2\pi -0.\cos 0\right)+\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right)\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta =-\left(2\pi.1-0.1\right)+\left(0-0\right)\\[5pt]
\int _{0}^{{2\pi }}\theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta =-2\pi
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int _{0}^{{2\pi }}\theta \;d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{{2\pi}}\theta \;d\theta =\left.\frac{\theta^{2}}{2}\;\right|_{\;0}^{\;2\pi }=\frac{(2\pi)^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{4\pi^{2}}{2}-0=2\pi^{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[-a.0\;\mathbf{i}-a(-2\pi)\;\mathbf{j}+z\;(2\pi^{2})\;\mathbf{k}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(2\pi a\;\mathbf{j}+2\pi^{2}z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{2\pi \alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{2\epsilon_{0}}\frac{\alpha a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right)}
\end{gather}
\]
Figura 4
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