Esercizio Risolto di Dinamica

Nel sistema della figura, il corpo B scivola su un piano orizzontale senza attrito, esso è collegato da un sistema di corde e carrucole ideali a due corpi A e C che si muovono verticalmente. Le masse di A, B e C valgono rispettivamente 5 kg, 2 kg e 3 kg. Determinare l’accelerazione del sistema e l’intensità delle forze di tensione nelle corde.

Dati del problema:

Massa del corpo A: m_a = 5 kg;
Massa del corpo B: m_b = 2 kg;
Massa del corpo C: m_c = 3 kg;
Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s².

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento orientato nello stesso senso dell’accelerazione in cui il corpo A sta scendendo.

Figura 1

Facendo un Diagramma del Corpo Libero, abbiamo le forze che agiscono sui blocchi.

Corpo A (Figura 2):
- Direzione verticale:
  - \( \vec P_a \): peso del corpo A;
  - \( \vec T_{ab} \): forza di tensione nella corda tra i blocchi A e B.

Figura 2

Corpo B (Figura 3):
- Direzione verticale:
  - \( \vec P_b \): peso del corpo B;
  - \( \vec N_b \): forza normale di reazione della superficie sul corpo.
- Direzione orizzontale:
  - \( \vec T_{ab} \): forza di tensione nella corda tra i blocchi A e B;
  - \( \vec T_{bc} \): forza di tensione nella corda tra i blocchi B e C.

Figura 3

Corpo C (Figura 4):
- Direzione verticale:
  - \( \vec P_c \): peso del corpo C;
  - \( \vec T_{bc} \): forza di tensione nella corda tra i blocchi B e C.

Figura 4

Soluzione:

Applicando la Seconda Legge di Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]

Corpo A:

Nella direzione orizzontale, non vi sono forze agenti.
Nella direzione verticale

\[ \begin{gather} P_a-T_{ab}=m_aa \tag{I} \end{gather} \]

Corpo B:

Nella direzione verticale, non vi è movimento, la forza normale e la forza peso si annullano.
Nella direzione orizzontale

\[ \begin{gather} T_{ab}-T_{bc}=m_ba \tag{II} \end{gather} \]

Corpo C:

Nella direzione orizzontale, non vi sono forze agenti.
Nella direzione verticale

\[ \begin{gather} T_{bc}-P_c=m_ca \tag{III} \end{gather} \]

La forza peso è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

Per i corp A e C

\[ \begin{gather} P_a=m_ag \tag{IV-a} \\[10pt] P_c=m_cg \tag{IV-b} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (IV-a) nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} m_ag-T_{ab}=m_aa \tag{V-a} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (IV-b) nell’equazione (III)

\[ \begin{gather} T_{bc}-m_cg=m_ca \tag{V-b} \end{gather} \]

Le equazioni (II), (V-a) e (V-b) formano un sistema di tre equazioni a tre incognite (T_AB, T_BC e a). Sommando le tre equazioni

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_ag-\cancel{T_{ab}} &=m_aa \\ \cancel{T_{ab}}-\cancel{T_{bc}}&=m_ba \\ \cancel{T_{bc}}-m_cg &=m_ca \end{array} \right.} {m_ag-m_cg=\left(m_a+m_b+m_c\right)a} \\[5pt] a=\frac{m_ag-m_cg}{m_a+m_b+m_c} \\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Sostituendo la massa del corpo A e l’accelerazione trovata sopra, nella prima equazione del sistema, la tensione nella corda sarà

\[ \begin{gather} m_ag-T_{ab}=m_aa \\[5pt] T_{ab}=m_ag-m_aa \\[5pt] T_{ab}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{ab}=39\; \mathrm N} \end{gather} \]

Sostituendo la massa del corpo C e l’accelerazione trovata sopra, nella terza equazione del sistema, la tensione nella corda sarà

\[ \begin{gather} T_{bc}-m_cg=m_ca \\[5pt] T_{bc}=m_ca+m_cg \\[5pt] T_{bc}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{bc}\approx 35,4\; \mathrm N} \end{gather} \]

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