Exercice Résolu sur les Dynamique
publicité   



Dans le système de la figure, le corps B glisse sur un plan horizontal sans frottement, il est relié par l'intermédiaire d'un système de fils et de poulies idéales à deux corps A et C se déplaçant verticalement. Les masses de A, B et C valent respectivement 5 kg, 2 kg et 3 kg. Déterminer l'accélération de l'ensemble et l'intensité des forces de tension dans les fils.


Données du problème:
  • Masse du corps A:    mA = 5 kg;
  • Masse du corps B:    mB = 2 kg;
  • Masse du corps C:    mC = 3 kg;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel dans la même direction que l'accélération, où le corps A descend.
Figure 1

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les blocs.

  • Corps A (Figura 2):
    • Direction verticale:
      • \( \vec P_{\small A} \): poids du corps A;
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): force de tension dans le fil entre les blocs A et B.
Figure 2

  • Corps B (Figura 3):
    • Direction verticale:
      • \( \vec P_{\small B} \): poids du corps B;
      • \( \vec N_{\small B} \): force de réaction normale de la surface sur le corps.
    • Direction horizontale:
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): force de tension dans le fil entre les blocs A et B;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): force de tension dans le fil entre les blocs B et C.
Figure 3

  • Corps C (Figura 4):
    • Direction verticale:
      • \( \vec P_{\small C} \): poids du corps C;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): force de tension dans le fil entre les blocs B et C.
Figure 4

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corps A:
Dans la direction horizontale, aucune force n'agit.
Dans la direction verticale
\[ \begin{gather} P_{\small A}-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Corps B:
Dans la direction verticale, le poids et la normale s'annulent, il n'y a pas de mouvement vertical.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} T_{\small {AB}}-T_{\small {BC}}=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
  • Corps C:
Dans la direction horizontale, aucune force n'agit.
Dans la direction verticale
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-P_{\small C}=m_{\small C}a \tag{III} \end{gather} \]
Le poids est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Pour les corps A et C
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{IV-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small C}=m_{\small C}g \tag{IV-b} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (IV-a) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{V-a} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (IV-b) dans l'équation (III)
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a \tag{V-b} \end{gather} \]
Les équations (II), (V-a) et (V-b) forment un système de trois équations à trois inconnues (TAB, TBC et a), en additionnant les trois équations
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_{\small A}g-\cancel{T_{\small {AB}}} &=m_{\small A}a\\ \cancel{T_{\small {AB}}}-\cancel{T_{\small {BC}}}&=m_{\small B}a\\ \cancel{T_{\small {BC}}}-m_{\small C}g &=m_{\small C}a \end{array} \right.} {m_{\small A}g-m_{\small C}g=\left(m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}\right)a}\\[5pt] a=\frac{m_{\small A}g-m_{\small C}g}{m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}}\\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
En remplaçant la masse du corps A et l'accélération trouvée ci-dessus, dans la première équation du système, la tension dans le fil sera
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a\\[5pt] T_{\small {AB}}=m_{\small A}g-m_{\small A}a\\[5pt] T_{AB}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {AB}}=39\; \mathrm N} \end{gather} \]
En remplaçant la masse du corps C et l'accélération trouvée ci-dessus, dans la troisième équation du système, la tension dans le fil sera
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a\\[5pt] T_{\small {BC}}=m_{\small C}a+m_{\small C}g\\[5pt] T_{BC}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {BC}}\approx 35,4\; \mathrm N} \end{gather} \]
publicité   

Creative Commons License
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .