Gelöste Übung zur Dynamik

Im dargestellten System gleitet der Körper B reibungsfrei auf einer horizontalen Fläche. Er ist über ein System idealer Seile und Rollen mit zwei Körpern A und C verbunden, die sich vertikal bewegen. Die Massen der Körper A, B und C betragen jeweils 5 kg, 2 kg und 3 kg. Bestimmen Sie die Beschleunigung des Systems und die Beträge der Zugkräfte.

Gegebene Daten:

Masse des Körpers A: m_a = 5 kg;
Masse des Körpers B: m_b = 2 kg;
Masse des Körpers C: m_c = 3 kg;
Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s².

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem in Richtung der Beschleunigung, wobei sich der Körper A nach unten bewegt.

Abb. 1

Durch das Zeichnen eines Freikörperdiagramms erhalten wir die auf die Blöcke wirkenden Kräfte.

Körper A (Abbildung 2):
- Vertikale Richtung:
  - \( {\vec F}_{ga} \): Gewichtskraft des Körpers A;
  - \( \vec T_{ab} \): Zugkraft im Seil zwischen den Körpern A und B.

Abb. 2

Körper B (Abbildung 3):
- Vertikale Richtung:
  - \( {\vec F}_{gb} \): Gewichtskraft des Körpers B;
  - \( \vec N_b \): Normalkraft der Unterlage auf den Körper.
- Horizontale Richtung:
  - \( \vec T_{ab} \): Zugkraft im Seil zwischen den Körpern A und B;
  - \( \vec T_{bc} \): Zugkraft im Seil zwischen den Körpern B und C.

Abb. 3

Körper C (Abbildung 4):
- Vertikale Richtung:
  - \( {\vec F}_{gc} \): Gewichtskraft des Körpers C;
  - \( \vec T_{bc} \): Zugkraft im Seil zwischen den Körpern B und C.

Abb. 4

Lösung:

Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]

Körper A:

In horizontaler Richtung wirken keine Kräfte.
in vertikaler Richtung

\[ \begin{gather} F_{ga}-T_{ab}=m_aa \tag{I} \end{gather} \]

Körper B:

In vertikaler Richtung erfolgt keine Bewegung, die Normalkraft und die Gewichtskraft heben einander auf.
In horizontaler Richtung

\[ \begin{gather} T_{ab}-T_{bc}=m_ba \tag{II} \end{gather} \]

Körper C:

In horizontaler Richtung wirken keine Kräfte.
In vertikaler Richtung

\[ \begin{gather} T_{bc}-F_{gc}=m_ca \tag{III} \end{gather} \]

Die Gewichtskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_g=mg} \end{gather} \]

Für die Körper A und C

\[ \begin{gather} F_{ga=}m_ag \tag{IV-a} \\[10pt] F_{gc}=m_cg \tag{IV-b} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (IV-a) in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} m_ag-T_{ab}=m_aa \tag{V-a} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (IV-b) in die Gleichung (III)

\[ \begin{gather} T_{bc}-m_cg=m_ca \tag{V-b} \end{gather} \]

Die Gleichungen (II), (V-a) und (V-b) bilden ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten (T_ab, T_bc und a). Addieren wir die drei Gleichungen

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_ag-\cancel{T_{ab}} &=m_aa \\ \cancel{T_{ab}}-\cancel{T_{bc}}&=m_ba \\ \cancel{T_{bc}}-m_cg &=m_ca \end{array} \right.} {m_ag-m_cg=\left(m_a+m_b+m_c\right)a} \\[5pt] a=\frac{m_ag-m_cg}{m_a+m_b+m_c} \\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Einsetzen der Masse des Körpers A und der oben berechneten Beschleunigung in die erste Gleichung ergibt die Zugkraft

\[ \begin{gather} m_ag-T_{ab}=m_aa \\[5pt] T_{ab}=m_ag-m_aa \\[5pt] T_{ab}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{ab}=39\; \mathrm N} \end{gather} \]

Einsetzen der Masse des Körpers C und der oben berechneten Beschleunigung in die dritte Gleichung ergibt die Zugkraft

\[ \begin{gather} T_{bc}-m_cg=m_ca \\[5pt] T_{bc}=m_ca+m_cg \\[5pt] T_{bc}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{bc}\approx 35,4\; \mathrm N} \end{gather} \]

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