Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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En el sistema de la figura, el cuerpo B se desliza sobre un plano horizontal sin fricción, está conectado mediante un sistema de cuerdas y poleas ideales a dos cuerpos A y C que se desplazan verticalmente. Las masas de A, B y C son respectivamente de 5 kg, 2 kg y 3 kg. Determinar la aceleración del conjunto y la intensidad de las fuerzas de tensión en las cuerdas.


Datos del problema:
  • Masa del cuerpo A:    mA = 5 kg;
  • Masa del cuerpo B:    mB = 2 kg;
  • Masa del cuerpo C:    mC = 3 kg;
  • Aceleración de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:

Tomando un sistema de referencia en la misma dirección de la aceleración en la que el cuerpo A está descendiendo.
Figura 1

Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los bloques.

  • Cuerpo A (Figura 2):
    • Dirección vertical:
      • \( \vec P_{\small A} \): peso del cuerpo A;
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): fuerza de tensión en la cuerda entre los bloques A y B.
Figura 2

  • Cuerpo B (Figura 3):
    • Dirección vertical:
      • \( \vec P_{\small B} \): peso del cuerpo B;
      • \( \vec N_{\small B} \): fuerza de reacción normal de la superficie sobre el cuerpo.
    • Dirección horizontal:
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): fuerza de tensión en la cuerda entre los bloques A y B;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): fuerza de tensión en la cuerda entre los bloques B y C.
Figura 3

  • Cerpo C (Figura 4):
    • Dirección vertical:
      • \( \vec P_{\small C} \): peso del cuerpo C;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): fuerza swtensión en la cuerda entre los bloques B y C.
Figura 4

Solución

Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Cuerpo A:
En la dirección horizontal no hay fuerzas actuando.
En la dirección vertical
\[ \begin{gather} P_{\small A}-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Cuerpo B:
En la dirección vertical, el peso y la normal se anulan, no hay movimiento vertical.
En la dirección horizontal
\[ \begin{gather} T_{\small {AB}}-T_{\small {BC}}=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
  • Cuerpo C:
En la dirección horizontal no hay fuerzas actuando.
En la dirección vertical
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-P_{\small C}=m_{\small C}a \tag{III} \end{gather} \]
El peso es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Para los cuerpos A y C
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{IV-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small C}=m_{\small C}g \tag{IV-b} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (IV-a) en la ecuación (I)
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{V-a} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (IV-b) en la ecuación (III)
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a \tag{V-b} \end{gather} \]
Las ecuaciones (II), (V-a) y (V-b) forman un sistema de tres ecuaciones a tres incógnitas (TAB, TBC y a), sumando las tres ecuaciones
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_{\small A}g-\cancel{T_{\small {AB}}} &=m_{\small A}a\\ \cancel{T_{\small {AB}}}-\cancel{T_{\small {BC}}}&=m_{\small B}a\\ \cancel{T_{\small {BC}}}-m_{\small C}g &=m_{\small C}a \end{array} \right.} {m_{\small A}g-m_{\small C}g=\left(m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}\right)a}\\[5pt] a=\frac{m_{\small A}g-m_{\small C}g}{m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}}\\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Sustituyendo la masa del cuerpo A y la aceleración encontrada anteriormente, en la primera ecuación del sistema, la tensión en la cuerda será
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a\\[5pt] T_{\small {AB}}=m_{\small A}g-m_{\small A}a\\[5pt] T_{AB}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {AB}}=39\; \mathrm N} \end{gather} \]
Sustituyendo la masa del cuerpo C y la aceleración encontrada anteriormente, en la tercera ecuación del sistema, la tensión en la cuerda será
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a\\[5pt] T_{\small {BC}}=m_{\small C}a+m_{\small C}g\\[5pt] T_{BC}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {BC}}\approx 35,4\; \mathrm N} \end{gather} \]
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