Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo, determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.



Dados do problema:

Resistores:
  • R1 = 0,5 Ω;
  • R2 = 0,5 Ω;
  • R3 = 1 Ω;
  • R4 = 0,5 Ω;
  • R5 = 0,5 Ω;
  • R6 = 3 Ω;
  • R7 = 1 Ω.
Baterias:
  • E1 = 20 V;
  • E2 = 20 V;
  • E3 = 6 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i2 de B para E e no ramo EDCB a corrente i3 no sentido anti-horário. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para percorrer a malha. Para a malha α (ABEFA) sentido horário e para a malha β (BCDEB) também sentido horário (Figura 1.).
Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} i_{n}=0} \end{gather} \]
As correntes i1 e i3 chegam no nó B e a corrente i2 sai dele
\[ \begin{gather} i_{2}=i_{1}+i_{3} \tag{I} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha β (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} R_{2}i_{1}+R_{4}i_{2}+E_{2}+R_{5}i_{2}+R_{3}i_{1}+R_{1}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 0,5i_{1}+0,5i_{2}+20+0,5i_{2}+1i_{1}+0,5i_{1}-20=0\\[5pt] 2i_{1}+i_{2}=0 \tag{II} \end{gather} \]
Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha α (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} -R_{6}i_{3}+E_{3}-R_{7}i_{3}-R_{5}i_{2}-E_{2}-R_{4}i_{2}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} -3i_{3}+6-1i_{3}-0,5i_{2}-20-0,5i_{2}=0\\[5pt] -i_{2}-4i_{3}-14=0\\[5pt] -i_{2}-4i_{3}=14 \tag{III} \end{gather} \]
As equações (I), (II) e (III) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3)
\[ \left\{ \begin{array} \;i_{2}=i_{1}+i_{3}\\ \;2i_{1}+i_{2}=0\\ \;-i_{2}-4i_{3}=14 \end{array}\right. \]
isolando o valor de i1 na segunda equação
\[ \begin{gather} i_{1}=\frac{-{i_{2}}}{2} \tag{IV} \end{gather} \]
isolando o valor de i3 na terceira equação
\[ \begin{gather} i_{3}=\frac{-14-i_{2}}{4} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as expressões (IV) e (V) na primeira equação
\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{-{i_{2}}}{2}+\frac{\left(\;-14-i_{2}\;\right)}{4}\\[5pt] -i_{2}-\frac{i_{2}}{2}+\frac{\left(\;-14-i_{2}\;\right)}{4}=0 \end{gather} \]
multiplicando a equação por 4
\[ \begin{gather} \qquad\quad -i_{2}-\frac{i_{2}}{2}+\frac{\left(\;-14-i_{2}\;\right)}{4}=0 \qquad {\times 4}\\[5pt] -4 i_{2}-\cancelto{2}{4}.\frac{i_{2}}{\cancel{2}}+\cancel{4}.\frac{\left(\;-14-i_{2}\;\right)}{\cancel{4}}=4.0\\[5pt] -4i_{2}-2i_{2}-14-i_{2}=0\\[5pt] -7i_{2}-14=0\\[5pt] -7i_{2}=14\\[5pt] i_{2}=\frac{14}{-7}\\[5pt] i_{2}=-2\;\text{A} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo o valor (VI) encontrado acima, nas expressões (IV) e (V) encontramos os valores de i1 e i3
\[ \begin{gather} i_{1}=\frac{-{(-2)}}{2}\\[5pt] i_{1}=1\;\text{A} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} i_{3}=\frac{-14-(-2)}{4}\\[5pt] i_{3}=\frac{-14+2}{4}\\[5pt] i_{3}=\frac{-12}{4}\\[5pt] i_{3}=-3\;\text{A} \end{gather} \]
Como o valor das correntes i2 e i3 são negativas, isto indica que seus verdadeiros sentidos são contrários àqueles escolhidos na Figura 1. Os valores das correntes são i1=1 A, i2=2 A, e i3=3 A, e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.

Figura 4
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