Exercício Resolvido de Dinâmica
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Dois blocos, de massas 3 kg e 2 kg, são abandonados a partir do repouso no alto de um plano inclinado de 30° e percorrem uma distância de 40 m até a base do plano. Não existe atrito entre os blocos e o plano inclinado. Determine qual dos blocos chegará ao final com a maior velocidade.


Dados do problema:
  • Massa do bloco A:    mA = 3 kg;
  • Massa do bloco B:    mB = 2 kg;
  • Velocidade inicial do bloco A:    v0A = 0;
  • Velocidade inicial do bloco B:    v0B = 0;
  • Comprimento do plano inclinado:    L = 40 m;
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ = 30°;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência apontado no sentido descendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Bloco A (Figura 2-A):
    • \( {\vec P}_{\small A} \): peso do bloco A;
    • \( {\vec N}_{\small A} \): força de reação normal da superfície sobre o bloco A.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small AP} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{\small AN} \) (Figura 2-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 2-B)
Figura 2

  • Bloco B (Figura 3-A):
    • \( {\vec P}_{\small B} \): peso do bloco B;
    • \( {\vec N}_{\small B} \): força de reação normal da superfície sobre o bloco B.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small BP} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{\small BN} \) (Figura 3-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-B)
Figura 3

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Bloco A:
    • Direção x:
\[ \begin{gather} P_{\small AP}=m_{\small A}a_{\small A} \tag{I} \end{gather} \]
a componente paralela do peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{\small AP}=P_{\small A}\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} P_{\small A}\operatorname{sen}\theta=m_{\small A}a_{\small A} \tag{III} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin {gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
para o bloco A
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a equação (V) na equação (III)
\[ \begin{gather} \cancel{m_{\small A}}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_{\small A}}a_{\small A}\\[5pt] a_{\small A}=g\operatorname{sen}30° \end{gather} \]

Da Trigonometria temos que   \( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)

\[ \begin{gather} a_{\small A}=9,8\times\frac{1}{2}\\[5pt] a_{\small A}=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{VI} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção x:
\[ \begin{gather} P_{\small BP}=m_{\small B}a_{\small B} \tag{VII} \end{gather} \]
a componente paralela do peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{\small BP}=P_{\small B}\operatorname{sen}\theta \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[ \begin{gather} P_{\small B}\operatorname{sen}\theta=m_{\small B}a_{\small B} \tag{IX} \end{gather} \]
para o bloco B usando a equação (IV) para força peso
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a equação (X) na equação (IX)
\[ \begin{gather} \cancel{m_{\small B}}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_{\small B}}a_{\small B}\\[5pt] a_{\small B}=g\operatorname{sen}30°\\[5pt] a_{\small B}=9,8\times\frac{1}{2}\\[5pt] a_{\small B}=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{XII} \end{gather} \]
Comparando as expressões (VI) e (XII) vemos que os dois blocos possuem a mesma aceleração, e como ambos partem com a mesma velocidade e percorrem a mesma distância (40 m), podemos concluir que os dois chegam com a mesma velocidade ao final da trajetória.

Observação: Calculando a velocidade final.
Aplicando a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
Os dois blocos tem a mesma aceleração (aA = aB = a = 5 m/s2), a mesma velocidade inicial (v0A = v0B = v0 = 0) e percorrem a mesma distância (L = 40 m), a velocidade final será
\[ \begin{gather} v^2=0^2+2\times 5\times 40\\[5pt] v=\sqrt{400\;}\\[5pt] v=20\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
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