Un anello di raggio a è caricato uniformemente con una carica Q. Calcolare il vettore campo elettrico in un punto P sull’asse di simmetria perpendicolare al piano dell’anello a una distanza z dal suo centro.

Dati del problema:

• Raggio dell’anello:    a;
• Carica dell’anello:    Q;
• Distanza al punto in cui si vuole il campo elettrico:    z.

Schema del problema:

Il vettore posizione r va da un elemento di carica dell’anello dq fino al punto P dove vogliamo calcolare il campo elettrico, il vettore r_q individua l’elemento di carica rispetto all’origine del sistema di riferimento e il vettore r_p individua il punto P (Figura 1-A).

Figura 1

Dalla geometria del problema, scegliamo coordinate cilindriche (Figura 1-B). Il vettore r_q si trova nel piano xy, è scritto come   \( \mathbf r_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \)  . Il vettore r_p possiede solo componente nella direzione k,   \( \mathbf r_p=z\;\mathbf k \),   il vettore posizione sarà

Dall’equazione (I), il modulo del vettore posizione r sarà

dove x, y e z, in coordinate cilindriche, sono dati da

Soluzione:

Il vettore campo elettrico è dato da

Usando l’equazione della densità lineare di carica, λ, otteniamo l’elemento di carica dq.

dove ds è un elemento di arco di angolo dθ dell’anello (Figura 2).

\[ \begin{gather} ds=a\;d\theta \tag{VI} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (VI) nell’equazione (V)

\[ \begin{gather} dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII} \end{gather} \]

Figura 2

Sostituendo le equazioni (I), (II) e (VII) nell’equazione (IV).

sostituendo le equazioni (III) nell’equazione (VIII).

La densità di carica λ e il raggio a sono costanti, possono uscire dall’integrale, e l’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.

I limiti di integrazione saranno 0 e 2π (un giro completo nell’anello).

Integrale di    \( \displaystyle \int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \)

1.º metodo

\[ \begin{align} \int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0=\\ &=0-0=0 \end{align} \]

2.º metodo

Il grafico del coseno tra 0 e 2π possiede un’area “positiva” sopra l’asse x tra 0 e \( \frac{\pi}{2} \), e tra \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π. E un’area “negativa” sotto l’asse x tra \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \), queste due aree si annullano nel calcolo dell’integrale e il valore dell’integrale è zero (Figura 3).

Figura 3

Integrale di    \( \displaystyle \int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)

1.º metodo

\[ \begin{align} \int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta &=\left.-\cos\theta\;\right|_0^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos 0)=\\ &=-(1-1)=0 \end{align} \]

2.º metodo

Il grafico del seno tra 0 e 2π possiede un’area “positiva” sopra l’asse x tra 0 e π. E un’area “negativa” sotto l’asse x tra π e 2π, queste due aree si annullano nel calcolo dell’integrale e il valore dell’integrale è zero (Figura 4).

Figura 4

Osservazione: Le due integrali, nelle direzioni i e j, essendo nulle, rappresentano il calcolo matematico per l’affermazione comunemente fatta che le componenti del campo elettrico parallele al piano xy (dE_P) si annullano. Solo le componenti normali al piano (dE_N) contribuiscono al campo elettrico totale (Figura 5).

Figura 5

La carica totale dell’anello è Q e la sua lunghezza è 2πa, la densità lineare di carica può essere scritta

\[ \begin{gather} \lambda=\frac{Q}{2\pi a} \\[5pt] Q=2\pi a\lambda \tag{X} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (X) nell’equazione (IX).

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\;\mathbf k} \end{gather} \]

Figura 6