Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga Q. Calcule o vetor campo elétrico num
ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z do seu
centro.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Carga do aro: Q;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
O vetor posição r vai de um elemento de carga do aro dq até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 1-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q}
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 1-B), o vetor rq, que está no plano xy, é escrito como \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp só possui componente na direção k, \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \), o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=z\;\mathbf{k}-\left(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)\\[5pt]
\mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+z^{2}\\[5pt]
r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução
O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Usando a expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda \;ds \tag{V}
\end{gather}
\]
onde ds é um elemento de arco de ângulo dθ do aro (Figura 2)
Figura 2
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (I), (II) e (VII) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (III) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\left(a\cos \theta\right)^{2}+\left(\;a\operatorname{sen}\theta\right)^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[a^{2}\cos^{2}\theta +a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[a^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta +\operatorname{sen}^{2}\theta\right)}_{1}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-a\cos \theta\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\;\right)
\end{gather}
\]
Como a densidade de carga λ e o raio a são constantes eles podem “sair” da integral, e sendo
a integral da soma igual à soma das integrais
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda\;a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int \cos \theta\;d\theta \;\mathbf{i}-a\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{j}+z\int \;d\theta\;\mathbf{k}\;\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão 0 e 2π (uma volta completa no aro)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos \theta \;d\theta}_{0}\;\mathbf{i}-a\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta}_{0}\;\mathbf{j}+z\int_{0}^{2\pi}\;d\theta \;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\cos \theta \;d\theta \)
1.º método
Figura 3
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{2\pi}}\cos \theta \;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π, possui uma área “positiva” acima do eixo-x entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi }{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral e o valor da integral é zero (Figura 3).
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π, possui uma área “positiva” acima do eixo-x entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi }{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral e o valor da integral é zero (Figura 3).
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
1.º método
Figura 4
Figura 5
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta &=\left.-\cos \theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi }=-(\cos 2\pi -\cos 0)=\\
&=-(1-1)=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico do seno entre 0 e 2π, possui uma área “positiva” acima do eixo-x entre 0 e π e uma área “negativa” abaixo do eixo-x entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral e o valor da integral é zero (Figura 4).
O gráfico do seno entre 0 e 2π, possui uma área “positiva” acima do eixo-x entre 0 e π e uma área “negativa” abaixo do eixo-x entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral e o valor da integral é zero (Figura 4).
Observação: As duas integrais, nas direções i e j, que são nulas,
representam o cálculo matemático para a afirmação que se faz usualmente de que as componentes do campo
elétrico paralelas ao plano xy
(dEP) se anulam. Apenas as componentes normais ao plano
(dEN) contribuem para o campo elétrico total (Figura 5).
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{{2\pi}}d\theta =\left.\theta \;\right|_{\;0}^{\;2\pi }=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}2\pi z\;\mathbf{k}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}\frac{2\pi \lambda a z}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\;\mathbf{k} \tag{IX}
\end{gather}
\]
A carga total do aro é Q e o seu comprimento é 2πa, a densidade linear de carga pode
ser escrita
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{Q}{2\pi a}\\[5pt]
Q=2\pi a\lambda \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Qz}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\;\mathbf{k}}
\end{gather}
\]
Figura 6
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