Trova il condensatore equivalente tra i punti A e B del circuito rappresentato nella figura.
Soluzione:
Ridisegniamo il circuito nel seguente modo per facilitare la visualizzazione (Figura 1).
Questo tipo di circuito si risolve utilizzando la tecnica chiamata trasformazione Triangolo-Stella
(chiamata anche Delta-Stella o ΔY), effettuando la seguente modifica nel circuito (Figura 2).
Il condensatore Ca sarà dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_a=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_a=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt]
C_a=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt]
C_a=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt]
C_a=4C \tag{I}
\end{gather}
\]
Il condensatore Cb sarà dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_b=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_b=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{C} \\[5pt]
C_b=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{C} \\[5pt]
C_b=\frac{8C^{\cancel 2}}{\cancel C} \\[5pt]
C_b=8C \tag{II}
\end{gather}
\]
Il condensatore Cc sarà dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_c=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_c=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt]
C_c=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt]
C_c=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt]
C_c=4C \tag{III}
\end{gather}
\]
Quindi, utilizzando i valori di (I), (II) e (III), il circuito da risolvere diventa il seguente (Figura 3).
I due condensatori tra i punti D ed E, di valori 8C e C nella Figura 3, sono in serie,
il condensatore equivalente C4 è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\frac{C_A C_B}{C_A+C_B}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_4=\frac{C_b\times C}{C_b+C} \\[5pt]
C_4=\frac{8C\times C}{8C+C} \\[5pt]
C_4=\frac{8C^{\cancel 2}}{9\cancel C} \\[5pt]
C_4=\frac{8}{9}C
\end{gather}
\]
I due condensatori tra i punti D e F, di valori 4C e 2C nella Figura 3, sono collegati
in serie. Applicando l’equazione (IV), il condensatore equivalente C5 tra di essi sarà
\[
\begin{gather}
C_5=\frac{C_c\times 2C}{C_c+2C} \\[5pt]
C_5=\frac{4 C\times 2C}{4C+2C} \\[5pt]
C_5=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}} \\[5pt]
C_5=\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
Il circuito può essere rappresentato come (Figura 4).
I due condensatori ottenuti sopra sono collegati in parallelo, il condensatore equivalente è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\sum_{i=1}^nC_{i}}
\end{gather}
\]
il condensatore equivalente C6 tra essi sarà
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
moltiplicando il numeratore e il denominatore del secondo termine del lato destro dell’uguaglianza per 3.
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}\times\frac{4}{3}C \\[5pt]
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C \\[5pt]
C_6=\frac{20}{9}C
\end{gather}
\]
Il circuito si riduce a due condensatori in serie (Figura 5).
il condensatore equivalente Ceq del circuito sarà
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4C\times\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C}
\end{gather}
\]
nel denominatore moltiplichiamo il numeratore e il denominatore del primo termine per 9.
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4 C\times\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}\times 4C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^2 }{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{\cancel 9}C^{\cancel 2}}{\dfrac{56}{\cancel 9}\cancel C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancelto{7}{56}}C
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{10}{7}C}
\end{gather}
\]
DE
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