Exercício Resolvido de Capacitores
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Encontre o capacitor equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.


Solução

Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)

Figura 1

Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)

Figura 2

O capacitor Ca será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {C_{a}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{3}}} \]
\[ \begin{gather} C_{a}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{2C}\\ C_{a}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{2C}\\ C_{a}=\frac{8C^{2}}{2C}\\ C_{a}=4C \tag{I} \end{gather} \]
O capacitor Cb será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {C_{b}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{2}}} \]
\[ \begin{gather} C_{b}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{C}\\ C_{b}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{C}\\ C_{b}=\frac{8C^{2}}{C}\\ C_{b}=8C \tag{II} \end{gather} \]
O capacitor Cc será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {C_{c}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{1}}} \]
\[ \begin{gather} C_{c}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{2C}\\ C_{c}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{2C}\\ C_{c}=\frac{8C^{2}}{2C}\\ C_{c}=4C \tag{III} \end{gather} \]
Então usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)

Figura 3

Os dois capacitores entre os pontos D e E, Cb e C estão em série, o capacitor equivalente C4 é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] { C_{eq}=\frac{C_{A}C_{B}}{C_{A}+C_{B}}} \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_{4}=\frac{C_{b}.C}{C_{b}+C}\\ C_{4}=\frac{8 C.C}{8C+C}\\ C_{4}=\frac{8C^{2}}{9C}\\ C_{4}=\frac{8}{9}C \end{gather} \]
Os dois capacitores entre os pontos D e F, Cc e 2C estão em série, aplicando a expressão (IV)) o capacitor equivalente C5 entre eles será
\[ \begin{gather} C_{5}=\frac{C_{c}.2C}{C_{c}+2C}\\ C_{5}=\frac{4 C.2 C}{4C+2C}\\ C_{5}=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}}\\ C_{5}=\frac{4}{3}C \end{gather} \]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)

Figura 4

Os dois capacitores obtidos acima estão ligados em paralelo, o capacitor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}} \]
o capacitor equivalente C6 entre eles será
\[ C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 3
\[ \begin{gather} C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}.\frac{4}{3}C\\ C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C\\ C_{6}=\frac{20}{9}C \end{gather} \]
O circuito se reduz a dois capacitores em série (Figura 5)

Figura 5

o capacitor equivalente Ceq do circuito será
\[ C_{eq}=\frac{4C.\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C} \]
no denominador multiplicamos o numerador e o denominador do primeiro termo por 9
\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{4 C.\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}.4C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt] C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^{2}}{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt] C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^{2}}{\dfrac{56}{9}C}\\[5pt] C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancel{9}}C^{\cancel{2}}.\frac{\cancel{9}}{\cancelto{7}{56}}\frac{1}{\cancel{C}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{10}{7}C} \]
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