Encontre o capacitor equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.
Solução:
Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1).
Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela
(também chamada Delta-Estrela ou ΔY ou Teorema de Kennelly), fazendo a seguinte modificação
no circuito (Figura 2).
O capacitor Ca será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_a=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_a=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt]
C_a=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt]
C_a=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt]
C_a=4C \tag{I}
\end{gather}
\]
O capacitor Cb será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_b=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_b=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{C} \\[5pt]
C_b=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{C} \\[5pt]
C_b=\frac{8C^{\cancel 2}}{\cancel C} \\[5pt]
C_b=8C \tag{II}
\end{gather}
\]
O capacitor Cc será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_c=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_c=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt]
C_c=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt]
C_c=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt]
C_c=4C \tag{III}
\end{gather}
\]
Então, usando os valores de (I), (II) e (III), o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3).
Os dois capacitores entre os pontos D e E, de valores 8C e C na Figura 3, estão em
série, o capacitor equivalente C4 é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\frac{C_A C_B}{C_A+C_B}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_4=\frac{C_b\times C}{C_b+C} \\[5pt]
C_4=\frac{8C\times C}{8C+C} \\[5pt]
C_4=\frac{8C^{\cancel 2}}{9\cancel C} \\[5pt]
C_4=\frac{8}{9}C
\end{gather}
\]
Os dois capacitores entre os pontos D e F, de valores 4C e 2C na Figura 3, estão em
série. Aplicando a equação (IV), o capacitor equivalente C5 entre eles será
\[
\begin{gather}
C_5=\frac{C_c\times 2C}{C_c+2C} \\[5pt]
C_5=\frac{4 C\times 2C}{4C+2C} \\[5pt]
C_5=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}} \\[5pt]
C_5=\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
O circuito pode ser representado como (Figura 4).
Os dois capacitores obtidos acima estão ligados em paralelo, o capacitor equivalente é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\sum_{i=1}^nC_{i}}
\end{gather}
\]
o capacitor equivalente C6 entre eles será
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 3.
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}\times\frac{4}{3}C \\[5pt]
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C \\[5pt]
C_6=\frac{20}{9}C
\end{gather}
\]
O circuito se reduz a dois capacitores em série (Figura 5).
o capacitor equivalente Ceq do circuito será
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4C\times\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C}
\end{gather}
\]
no denominador multiplicamos o numerador e o denominador do primeiro termo por 9.
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4 C\times\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}\times 4C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^2 }{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{\cancel 9}C^{\cancel 2}}{\dfrac{56}{\cancel 9}\cancel C} \\[5pt]
C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancelto{7}{56}}C
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{10}{7}C}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
FR
IT
