Encontre o capacitor equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.
Solução
Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)
Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação
Triângulo-Estrela (também chamada
Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)
O capacitor
Ca será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{C_{a}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{3}}}
\]
\[
\begin{gather}
C_{a}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{2C}\\
C_{a}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{2C}\\
C_{a}=\frac{8C^{2}}{2C}\\
C_{a}=4C \tag{I}
\end{gather}
\]
O capacitor
Cb será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{C_{b}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
C_{b}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{C}\\
C_{b}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{C}\\
C_{b}=\frac{8C^{2}}{C}\\
C_{b}=8C \tag{II}
\end{gather}
\]
O capacitor
Cc será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{C_{c}=\frac{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}{C_{1}}}
\]
\[
\begin{gather}
C_{c}=\frac{2CC+2C2C+C2C}{2C}\\
C_{c}=\frac{2C^{2}+4C^{2}+2C^{2}}{2C}\\
C_{c}=\frac{8C^{2}}{2C}\\
C_{c}=4C \tag{III}
\end{gather}
\]
Então usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)
Os dois capacitores entre os pontos
D e
E,
Cb e
C estão em
série, o capacitor equivalente
C4 é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{ C_{eq}=\frac{C_{A}C_{B}}{C_{A}+C_{B}}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_{4}=\frac{C_{b}.C}{C_{b}+C}\\
C_{4}=\frac{8 C.C}{8C+C}\\
C_{4}=\frac{8C^{2}}{9C}\\
C_{4}=\frac{8}{9}C
\end{gather}
\]
Os dois capacitores entre os pontos
D e
F,
Cc e 2
C estão em
série, aplicando a expressão (IV)) o capacitor equivalente
C5 entre eles será
\[
\begin{gather}
C_{5}=\frac{C_{c}.2C}{C_{c}+2C}\\
C_{5}=\frac{4 C.2 C}{4C+2C}\\
C_{5}=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}}\\
C_{5}=\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)
Os dois capacitores obtidos acima estão ligados em paralelo, o capacitor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}}
\]
o capacitor equivalente
C6 entre eles será
\[
C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 3
\[
\begin{gather}
C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}.\frac{4}{3}C\\
C_{6}=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C\\
C_{6}=\frac{20}{9}C
\end{gather}
\]
O circuito se reduz a dois capacitores em série (Figura 5)
o capacitor equivalente
Ceq do circuito será
\[
C_{eq}=\frac{4C.\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C}
\]
no denominador multiplicamos o numerador e o denominador do primeiro termo por 9
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4 C.\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}.4C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^{2}}{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^{2}}{\dfrac{56}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancel{9}}C^{\cancel{2}}.\frac{\cancel{9}}{\cancelto{7}{56}}\frac{1}{\cancel{C}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{10}{7}C}
\]