Gelöste Aufgabe zu Kondensatoren

Bestimmen Sie die Ersatzkapazität zwischen den Punkten A und B der in der Abbildung dargestellten Schaltung.

Lösung:

Wir zeichnen die Schaltung auf folgende Weise neu, um die Visualisierung zu erleichtern (Abbildung 1).

Abb. 1

Dieser Schaltungstyp wird mit der Technik gelöst, die als Dreieck-Stern-Transformation (auch Delta-Stern-Transformation, Δ-Y-Transformation oder Satz von Kennelly genannt) bezeichnet wird, indem folgende Änderung an der Schaltung vorgenommen wird (Abbildung 2).

Abb. 2

Der Kondensator C_a ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_a=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_3}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_a=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt] C_a=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt] C_a=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt] C_a=4C \tag{I} \end{gather} \]

Der Kondensator C_b ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_b=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_b=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{C} \\[5pt] C_b=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{C} \\[5pt] C_b=\frac{8C^{\cancel 2}}{\cancel C} \\[5pt] C_b=8C \tag{II} \end{gather} \]

Der Kondensator C_c ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_c=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_1}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_c=\frac{2C\times C+2C\times 2C+C\times 2C}{2C} \\[5pt] C_c=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C} \\[5pt] C_c=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C} \\[5pt] C_c=4C \tag{III} \end{gather} \]

Dann wird unter Verwendung der Werte aus (I), (II) und (III) die zu lösende Schaltung wie folgt dargestellt (Abbildung 3).

Abb. 3

Die beiden Kondensatoren zwischen den Punkten D und E mit den Werten 8C und C in Abbildung 3 sind in Reihe geschaltet, die Ersatzkapazität C₄ ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\frac{C_A C_B}{C_A+C_B}} \tag{IV} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C_4=\frac{C_b\times C}{C_b+C} \\[5pt] C_4=\frac{8C\times C}{8C+C} \\[5pt] C_4=\frac{8C^{\cancel 2}}{9\cancel C} \\[5pt] C_4=\frac{8}{9}C \end{gather} \]

Die beiden Kondensatoren zwischen den Punkten D und F mit den Werten 4C und 2C in Abbildung 3 sind in Reihe geschaltet. Durch Anwendung der Gleichung (IV) ist die Ersatzkapazität C₅ gegeben durch

\[ \begin{gather} C_5=\frac{C_c\times 2C}{C_c+2C} \\[5pt] C_5=\frac{4 C\times 2C}{4C+2C} \\[5pt] C_5=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}} \\[5pt] C_5=\frac{4}{3}C \end{gather} \]

Die Schaltung kann dargestellt werden (Abbildung 4).

Abb. 4

Die beiden oben erhaltenen Kondensatoren sind parallel geschaltet, die Ersatzkapazität ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\sum_{i=1}^nC_{i}} \end{gather} \]

die Ersatzkapazität C₆ zwischen ihnen ist

\[ \begin{gather} C_6=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C \end{gather} \]

wir multiplizieren den Zähler und den Nenner des zweiten Terms auf der rechten Seite der Gleichung mit 3.

\[ \begin{gather} C_6=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}\times\frac{4}{3}C \\[5pt] C_6=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C \\[5pt] C_6=\frac{20}{9}C \end{gather} \]

Die Schaltung reduziert sich auf zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren (Abbildung 5).

Abb. 5

die Ersatzkapazität C_eq der Schaltung ist

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{4C\times\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C} \end{gather} \]

im Nenner multiplizieren wir den Zähler und den Nenner des ersten Terms mit 9.

\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{4 C\times\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}\times 4C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt] C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^2 }{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C} \\[5pt] C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{\cancel 9}C^{\cancel 2}}{\dfrac{56}{\cancel 9}\cancel C} \\[5pt] C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancelto{7}{56}}C \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{10}{7}C} \end{gather} \]

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