Esercizio Risolto di Moto Circolare

FISICAEXE

Una locomotiva parte da una stazione A e arriva a una stazione B distante 240 km dalla stazione A dopo 4 ore. Il diametro delle ruote è uguale a 1,25 m. Determinare:
a) Il numero di rotazioni al minuto che effettua in media ciascuna ruota;
b) La velocità angolare di un punto situato sulla ruota.

Dati del problema:

Distanza tra le stazioni: Δ S = 240 km = 240.000 m;
Durata del viaggio: Δ t = 4 h;
Diametro della ruota della locomotiva: d = 1,25 m.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento con origine nella stazione A e orientato verso destra, nel senso della stazione B.

Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire il tempo, dato in ore (h), in minuti (min), usati nel problema.

\[ \begin{gather} \Delta t=4\;{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm{min}}{1\;\mathrm{{\cancel h}}}=240\;\mathrm{min} \end{gather} \]

Figura 2

a) Il numero di rotazioni, n, che la ruota farà durante l’intero viaggio sarà

\[ \begin{gather} n=\frac{\text{distanza percorsa}}{\text{lunghezza di un giro}}=\frac{\Delta S}{C} \tag{I} \end{gather} \]

La lunghezza della circonferenza (un giro) è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {C=2\pi r} \end{gather} \]

poiché d = 2 r è uguale al diametro della ruota dato nel problema e adottando il valore π = 3,14

\[ \begin{gather} C=\pi d \\[5pt] C=3,14\times 1,25 \\[5pt] C\approx 3,93\;\mathrm m \end{gather} \]

Sostituendo questo valore e la distanza percorsa fornita nel problema nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} n=\frac{240000}{3,93} \\[5pt] n\approx 61068\;\text{rotazioni} \tag{II} \end{gather} \]

questo è il numero di rotazioni che la ruota compie durante l’intero viaggio, dividendo questo valore per la durata del viaggio in minuti, trovata nella conversione precedente

\[ \begin{gather} N=\frac{n}{\Delta t} \\[5pt] N=\frac{61068}{240} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {N\approx 254,5\;\mathrm{rpm}} \end{gather} \]

b) La velocità angolare è data da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=2\pi f} \tag{III} \end{gather} \]

per trovare la frequenza, f, dobbiamo convertire il numero di rotazioni al minuto (rpm), trovato nel punto precedente, in hertz (Hz)

\[ \begin{gather} f=254,5\;\frac{\text{rotazioni}}{\cancel{\mathrm{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=4,2\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]

sostituendo questo valore nell’equazione (III)

\[ \begin{gather} \omega=2\times 3,14\times 4,2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=26,4\;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]