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FISICAEXE
Exercice Résolu sur les Mouvement Circulaire
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Une locomotive part d'une gare A et arrive à une gare B distante de 240 km de la gare A après 4 heures. Le diamètre des roues est de 1,25 m. Déterminer:
a) Le nombre de rotations par minute effectuées en moyenne par chaque roue;
b) La vitesse angulaire d'un point situé sur la roue.

Données du problème:

  • Distance entre les gares: Δ S = 240 km = 240.000 m;
  • Distance entre les gares: Δ t = 4 h;
  • Diamètre de la roue de la locomotive: d = 1,25 m.

Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel avec l'origine à la gare A et orienté vers la droite, en direction de la gare B.

Figure 1
Solution:

Premièrement, nous devons convertir le temps, donné en heures (h), en minutes (min), comme utilisé dans le problème.
\[ \begin{gather} \Delta t=4\;{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm{{min}}}{1\;\mathrm{{\cancel h}}}=240\;\mathrm{min} \end{gather} \]
Figure 2

a) Le nombre de rotations, n, que la roue effectuera pendant tout le voyage sera

\[ \begin{gather} n=\frac{\text{distance parcourue}}{\text{longueur d'un tour}}=\frac{\Delta S}{C} \tag{I} \end{gather} \]

La longueur de la circonférence (un tour) est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {C=2\pi r} \end{gather} \]

comme d = 2r est égal au diamètre de la roue donné dans le problème et en utilisant la valeur de π = 3,14

\[ \begin{gather} C=\pi d \\[5pt] C=3,14\times 1,25 \\[5pt] C\approx 3,93\;\mathrm m \end{gather} \]

En remplaçant cette valeur et la distance parcourue fournie dans le problème dans l'équation (I)

\[ \begin{gather} n=\frac{240000}{3,93} \\[5pt] n\approx 61068\;\text{rotations} \tag{II} \end{gather} \]

c'est le nombre de rotations que la roue effectue pendant tout le voyage, en divisant cette valeur par la durée du voyage en minutes, trouvée dans la conversion ci-dessus

\[ \begin{gather} N=\frac{n}{\Delta t} \\[5pt] N=\frac{61068}{240} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {N\approx 254,5\;\mathrm{tr/min}} \end{gather} \]

b) La vitesse angulaire est donnée par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=2\pi f} \tag{III} \end{gather} \]

pour trouver la fréquence, f, nous devons convertir le nombre de tours par minute (tr/min), trouvé dans l'article précédent, en hertz (Hz)

\[ \begin{gather} f=254,5\;\frac{\text{rotations}}{\cancel{\mathrm{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=4,2\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]

en remplaçant cette valeur dans l'équation (III)

\[ \begin{gather} \omega=2\times 3,14\times 4,2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=26,4\;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]
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