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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur Kreisbewegung
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Eine Lokomotive fährt von einem Bahnhof A ab und erreicht nach 4 Stunden einen Bahnhof B, der 240 km vom Bahnhof A entfernt ist. Der Durchmesser der Räder beträgt 1,25 m. Bestimmen Sie:
a) Die Anzahl der Umdrehungen pro Minute, die jedes Rad im Mittel ausführt;
b) Die Winkelgeschwindigkeit eines Punktes auf dem Rad.

Gegebene Daten:

  • Entfernung zwischen den Bahnhöfen: Δ S = 240 km = 240.000 m;
  • Fahrtdauer: Δ t = 4 h;
  • Durchmesser des Lokomotivrades: d = 1,25 m.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem mit dem Ursprung am Bahnhof A, das nach rechts in Richtung des Bahnhofs B orientiert ist.

Abb. 1
Lösung:

Zuerst müssen wir die im Problem angegebene Zeit von Stunden (h) in Minuten (min) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.
\[ \begin{gather} \Delta t=4\;{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm{min}}{1\;\mathrm{{\cancel h}}}=240\;\mathrm{min} \end{gather} \]
Abb. 2

a) Die Anzahl der Umdrehungen n, die das Rad während der gesamten Fahrt ausführt, ist

\[ \begin{gather} n=\frac{\text{zurückgelegte Strecke}}{\text{Länge einer Umdrehung}}=\frac{\Delta S}{C} \tag{I} \end{gather} \]

Die Länge des Kreisumfangs (eine Umdrehung) ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {C=2\pi r} \end{gather} \]

da d = 2 r gleich dem im Problem angegebenen Durchmesser des Rades ist und unter Verwendung des Wertes π = 3,14

\[ \begin{gather} C=\pi d \\[5pt] C=3,14\times 1,25 \\[5pt] C\approx 3,93\;\mathrm m \end{gather} \]

Durch Einsetzen dieses Wertes und der im Problem angegebenen zurückgelegten Strecke in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} n=\frac{240000}{3,93} \\[5pt] n\approx 61068\;\text{rotações} \tag{II} \end{gather} \]

dies ist die Anzahl der Umdrehungen, die das Rad während der gesamten Fahrt ausführt. Durch Division dieses Wertes durch die oben bei der Umrechnung ermittelte Fahrtdauer in Minuten

\[ \begin{gather} N=\frac{n}{\Delta t} \\[5pt] N=\frac{61068}{240} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {N\approx 254,5\;\mathrm{rpm}} \end{gather} \]

b) Die Winkelgeschwindigkeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=2\pi f} \tag{III} \end{gather} \]

Um die Frequenz f zu bestimmen, müssen wir die im vorherigen Punkt ermittelte Anzahl der Umdrehungen pro Minute (min−1) in Hertz (Hz) umrechnen.

\[ \begin{gather} f=254,5\;\frac{\text{Umdrehungen}}{\cancel{\mathrm{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=4,2\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]

durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung (III)

\[ \begin{gather} \omega=2\times 3,14\times 4,2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=26,4\;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]
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