Esercizio Risolto di Dinamica
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Un blocco, di massa 5 kg, è lanciato con velocità iniziale di 20 m/s in direzione ascendente su un piano inclinato di 45°. Il coefficiente di attrito tra il blocco e il piano è pari a 0,4. Determinare la distanza che il blocco percorrerà fino a fermarsi.

 

Dati del problema:

  • Massa del bloco:    m = 5 kg;
  • Velocità iniziale del blocco:    v0 = 20 m/s;
  • Angolo di inclinazione del piano:    θ = 45°;
  • Coefficiente di attrito:    μ = 0,4;
  • Accelerazione di gravità:    g = 9,8 m/s2.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento orientato nel senso ascendente del piano inclinato e con l’asse-x parallelo al piano (Figura 1).

Figura 1
Facendo un Diagramma del Corpo Libero, abbiamo le forze che agiscono sul blocco (Figura 2).
  • \( \vec P \): peso del blocco;
  • \( \vec N \): forza normale di reazione della superficie sul blocco;
  • \( {\vec F}_{at} \): forza di attrito tra il blocco e il piano.
La forza peso può essere scomposta in due componenti, una parallela all’asse-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e l’altra normale o perpendicolare, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 3-A).
Disegniamo le forze in un sistema di coordinate xy (Figura 3-B).
Figura 2

Soluzione:

Applicando la Seconda Legge di Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Direzione x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}-F_{at}=ma \tag{I} \end{gather} \]

La componente parallela della forza peso è data da

\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (II) nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} -P\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{III} \end{gather} \]
  • Direzione y:

Non c’è movimento in questa direzione, la forza normale di reazione e la componente normale del peso si annullano

\[ \begin{gather} N=P_{\small N} \tag{IV} \end{gather} \]

La componente normale della forza peso è data da

\[ \begin{gather} P_{\small N}=P\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (V) nell’equazione (IV)

\[ \begin{gather} N=P\cos\theta \tag{VI} \end{gather} \]

La forza peso è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (VII) nelle equazioni (III) e (VI)

\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} N=mg\cos\theta \tag{IX} \end{gather} \]

La forza di attrito è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{at}=\mu\vec N} \tag{X} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (X) nell’equazione (VIII)

\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-\mu N=ma \tag{XI} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (IX) nell’equazione (XI)

\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta-\mu\cancel{m}g\cos\theta=\cancel{m}a \\[5pt] a=-g(\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta) \end{gather} \]

Il segno negativo dell’accelerazione indica che essa è nel verso opposto a quello dell’orientazione della traiettoria e il blocco viene frenato.

\[ \begin{gather} a=-9,8\times(\operatorname{sen}45°-0,4\cos 45°) \end{gather} \]
Dalla Trigonometria    \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)   e   \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} a=-9,8\times\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}+0,4\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \\[5pt] a=-9,7\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

Applicando l’Equazione di Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

Il blocco rallenta fino a che la sua velocità finale diventa nulla, v = 0, e sostituendo la velocità iniziale data nel problema e l’accelerazione calcolata

\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-20^2}{2\times\left(-9,7\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=20,6\;\mathrm m} \end{gather} \]
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