Gelöste Übung zur Dynamik

Ein Block mit der Masse 5 kg wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s in aufsteigender Richtung auf eine schiefe Ebene von 45° geworfen. Der Reibungskoeffizient zwischen Block und Ebene beträgt 0,4. Bestimmen Sie die Strecke, die der Block bis zum Stillstand zurücklegt.

Gegebene Daten:

Masse des Blocks: m = 5 kg;
Anfangsgeschwindigkeit des Blocks: v₀ = 20 m/s;
Neigungswinkel der Ebene: θ = 45°;
Reibungskoeffizient: μ = 0,4;
Erdbeschleunigung: g = 9,8 m/s².

Schema des Problems:

Wir wählen ein in aufsteigender Richtung orientiertes Bezugssystem mit der x-Achse parallel zur schiefen Ebene (Abbildung 1).

Abb. 1

Durch das Zeichnen eines Freikörperdiagramms erhalten wir die auf den Block wirkenden Kräfte (Abbildung 2).

\( {\vec F}_g \): Gewichtskraft des Blocks;
\( \vec N \): Normalkraft der Oberfläche auf den Block;
\( {\vec F}_{\small R} \): Reibungskraft zwischen Block und Ebene.

Die Gewichtskraft kann in zwei Komponenten zerlegt werden: eine Komponente parallel zur x-Achse, die Hangabtriebskraft \( {\vec F}_{g\small H} \), und die andere normal oder senkrecht, \( {\vec F}_{g\small N} \) (Abbildung 3-A).
Wir zeichnen die Kräfte in ein Koordinatensystem xy (Abbildung 3-B).

Abb. 2

Lösung:

Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]

x-Richtung:

\[ \begin{gather} -F_{g\small H}-F_{\small R}=ma \tag{I} \end{gather} \]

die Hangabtriebskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} F_{g\small H}=F_g\sin\theta \tag{II} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (II) in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} -F_g\sin\theta-F_{g\small R}=ma \tag{III} \end{gather} \]

y-Richtung:

Es gibt in dieser Richtung keine Bewegung, die Normalkraft und die normale Komponente der Gewichtskraft heben einander auf

\[ \begin{gather} N=F_{g\small N} \tag{IV} \end{gather} \]

Die normale Komponente der Gewichtskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} F_{g\small N}=F_g\cos\theta \tag{V} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (V) in die Gleichung (IV)

\[ \begin{gather} N=F_g\cos\theta \tag{VI} \end{gather} \]

Die Gewichtskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_g=mg} \tag{VII} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (VII) in die Gleichungen (III) und (VI)

\[ \begin{gather} -mg\sin\theta-F_{\small R}=ma \tag{VIII} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} N=mg\cos\theta \tag{IX} \end{gather} \]

Die Reibungskraft ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{\small R}=\mu\vec N} \tag{X} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (X) in die Gleichung (VIII)

\[ \begin{gather} -mg\sin\theta-\mu N=ma \tag{XI} \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (IX) in die Gleichung (XI)

\[ \begin{gather} -\cancel m g\sin\theta-\mu\cancel m g\cos\theta=\cancel{m}a \\[5pt] a=-g(\sin\theta+\mu\cos\theta) \end{gather} \]

Das negative Vorzeichen der Beschleunigung zeigt an, dass sie entgegengesetzt zur Orientierung der Bahn wirkt und der Block abgebremst wird.

\[ \begin{gather} a=-9,8\times(\sin 45°-0,4\cos 45°) \end{gather} \]

Aus der Trigonometrie \( \sin 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \) und \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} a=-9,8\times\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}+0,4\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \\[5pt] a=-9,7\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

Anwendung der Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion des zurückgelegten Weges

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

Der Block wird abgebremst, bis seine Endgeschwindigkeit null ist, v = 0. Setzen wir die im Problem angegebene Anfangsgeschwindigkeit und die berechnete Beschleunigung ein

\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-20^2}{2\times\left(-9,7\right)} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=20,6\;\mathrm m} \end{gather} \]

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