Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um bloco, de massa 5 kg, é lançado com velocidade inicial de 20 m/s em direção ascendente sobre um plano inclinado de 45°. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é igual a 0,4. Determine a distância que o bloco percorrerá até parar.


Dados do problema:
  • Massa do bloco:    m = 5 kg;
  • Velocidade inicial do bloco:    v0 = 20 m/s;
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ = 45°;
  • Coeficiente de atrito:    μ = 0,4;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência apontado no sentido ascendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam no bloco (Figura 2).
  • \( \vec P \): peso do bloco;
  • \( \vec N \): força de reação normal da superfície sobre o bloco;
  • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o bloco e o plano.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 3-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-B).
Figura 2

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Direção x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}-F_{at}=ma \tag{I} \end{gather} \]
A componente paralela do peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} -P\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{III} \end{gather} \]
  • Direção y:
Não há movimento nessa direção, a força de reação normal e a componente normal do peso se equilibram
\[ \begin{gather} N=P_{\small N} \tag{IV} \end{gather} \]
A componente normal do peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{\small N}=P\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[ \begin{gather} N=P\cos \theta \tag{VI} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a equação (VII) nas equações (III) e (VI)
\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} N=mg\cos \theta \tag{IX} \end{gather} \]
A força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{at}=\mu \vec N} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a equação (X) na equação (VIII)
\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-\mu N=ma \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo a equação (IX) na equação (XI)
\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta -\mu \cancel{m}g\cos \theta=\cancel{m}a\\[5pt] a=-g(\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta ) \end{gather} \]
o sinal de negativo da aceleração indica que ela esta no sentido contrário ao da orientação da trajetória e o bloco esta sendo freado.
\[ \begin{gather} a=-9,8\times(\operatorname{sen}45°-0,4\cos 45°) \end{gather} \]

Da Trigonometria temos que   \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)   e   \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} a=-9,8\times\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}+0,4\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right)\\[5pt] a=-9,7\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Aplicando a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
O bloco vai desacelerando até que sua velocidade final seja nula, v = 0, e substituindo a velocidade inicial dada no problema e a aceleração calculada
\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-20^2}{2\times\left(-9,7\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=20,6\;\mathrm m} \end{gather} \]
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