Esercizio Risolto di Dinamica
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Un blocco, di massa 5 kg, è lanciato con velocità iniziale di 20 m/s in direzione ascendente su un piano inclinato di 45°. Non esiste attrito tra il blocco e il piano inclinato. Determinare la distanza che il blocco percorrerà fino a fermarsi.

 

Dati del problema:

  • Massa del blocco:    m = 5 kg;
  • Velocità iniziale del blocco:    v0 = 20 m/s;
  • Angolo di inclinazione del piano:    θ = 45°;
  • Accelerazione di gravità:    g = 9,8 m/s2;

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento orientato nel senso ascendente del piano inclinato e con l’asse-x parallelo al piano (Figura 1).

Figura 1

Facendo un Diagramma del Corpo Libero, abbiamo le forze che agiscono sul blocco (Figura 2-A).

  • \( \vec P \): peso del corpo;
  • \( \vec N \): forza di reazione normale della superficie sul corpo.
La forza peso può essere scomposta in due componenti, una parallela all’asse-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e l’altra normale o perpendicolare, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 2-A).
Disegniamo le forze in un sistema di coordinate xy (Figura 2-B).
Figura 2

Soluzione:

Applicando la Seconda Legge di Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Direzione x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}=ma \tag{I} \end{gather} \]

la componente parallela del peso è data da

\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

la forza peso è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]

Sostituendo l’equazione (III) nell’equazione (II)

\[ \begin{gather} P_{\small P}=mg\operatorname{sen}\theta \tag{IV} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (IV) nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta=\cancel{m}a \\[5pt] a=-g\operatorname{sen}45° \end{gather} \]
Dalla Trigonometria    \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\[ \begin{gather} a=-9,8\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] a\approx -6,9\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

Il segno negativo dell’accelerazione indica che essa è nel senso opposto all’orientamento della traiettoria e il blocco viene frenato.
Applicando l’Equazione di Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

Il blocco rallenta fino a che la sua velocità finale diventa nulla, v = 0. Sostituendo la velocità iniziale data nel problema e l’accelerazione calcolata sopra

\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-(20)^2}{2\times(-6,9)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S\approx 28,0\;\mathrm m} \end{gather} \]
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