Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um bloco, de massa 5 kg, é lançado com velocidade inicial de 20 m/s em direção ascendente sobre um plano inclinado de 45°. Não existe atrito entre o bloco e o plano inclinado. Determine a distância que o bloco percorrerá até parar.

 

Dados do problema:

  • Massa do bloco:    m = 5 kg;
  • Velocidade inicial do bloco:    v0 = 20 m/s;
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ = 45°;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2;

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado no sentido ascendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre, temos as forças que atuam no bloco (Figura 2-A).

  • \( \vec P \): peso do corpo;
  • \( \vec N \): força de reação normal da superfície no corpo.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 2-A).
Desenhamos as forças em um sistema de coordenadas xy (Figura 2-B).
Figura 2

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Direção x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}=ma \tag{I} \end{gather} \]

a componente paralela do peso é dada por

\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]

Substituindo a equação (III) na equação (II)

\[ \begin{gather} P_{\small P}=mg\operatorname{sen}\theta \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (I)

\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta=\cancel{m}a \\[5pt] a=-g\operatorname{sen}45° \end{gather} \]
Da Trigonometria    \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\[ \begin{gather} a=-9,8\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt] a\approx -6,9\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

O sinal de negativo da aceleração indica que ela está no sentido contrário ao da orientação da trajetória e o bloco está sendo freado.
Aplicando a Equação de Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

O bloco vai desacelerando até que sua velocidade final seja nula, v = 0. Substituindo a velocidade inicial dada no problema e a aceleração calculada acima

\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-(20)^2}{2\times(-6,9)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S\approx 28,0\;\mathrm m} \end{gather} \]
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