Esercizio Risolto di Condensatori
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a) Quale deve essere il raggio di una sfera conduttrice situata nel vuoto affinché la sua capacità sia di 1 F?
b) Supponendo che il pianeta Terra sia una sfera perfetta con raggio pari a 6400 km, qual è la sua capacità elettrica?
Costante di Coulomb nel vuoto: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

 

Dati del problema:

  • Capacità elettrica del conduttore:    C=1 F;
  • Raggio della Terra:    RT=6400 km;
  • Costante di Coulomb nel vuoto:    \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Soluzione:

a) La capacità elettrica, in funzione della carica Q e del potenziale V, è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{Q}{V}} \tag{I} \end{gather} \]

Il potenziale elettrico di un conduttore sferico, di raggio R carico con carica Q, è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_e\frac{Q}{R}} \tag{II} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (II) nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} C=\frac{Q}{k_e\dfrac{Q}{R}} \\[5pt] C=\frac{\cancel Q}{k_e}\frac{R}{\cancel Q} \\[5pt] C=\frac{R}{k_e} \tag{III} \\[5pt] R=Ck_e \end{gather} \]

sostituendo i dati del problema

\[ \begin{gather} R=1\times 9\times 10^9 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {R=9\times 10^9\;\mathrm m} \end{gather} \]
Osservazione: Questo risultato mostra che 1 farad è un’unità molto grande; affinché una sfera abbia tale capacità, dovrebbe avere un raggio di 9×106 km = 9.000.000 km.

 

b) Innanzitutto, convertiamo il raggio della Terra, dato in chilometri (km), in metri (m), come previsto dal Sistema Internazionale di Unità (SI)

\[ \begin{gather} R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m \end{gather} \]

Usando l’equazione (III) del punto precedente

\[ \begin{gather} C=\frac{R}{k_e} \\[5pt] C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9} \\[5pt] C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9} \\[5pt] \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}} \end{gather} \]
Osservazione: Poiché 1 farad è un’unità molto grande, questo risultato ci mostra perché è comune usare sottomultipli come milli (m) = 10−3, micro (μ) = 10−6 o pico (p) = 10−9 est courante.
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