Exercício Resolvido de Capacitores

a) Qual deve ser o raio de uma esfera condutora localizada no vácuo para que sua capacidade seja de 1 F?
b) Supondo o planeta Terra uma esfera perfeita de raio igual a 6400 km. Qual a sua capacidade elétrica?
Constante de Coulomb no vácuo \( k_0=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Dados do problema:

Capacidade elétrica do condutor: C=1 F;
Raio da Terra: R_T=6400 km;
Constante de Coulomb no vácuo: \( k_0=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Solução:

a) A capacidade elétrica, em função da carga Q e do potencial V, é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{Q}{V}} \tag{I} \end{gather} \]

O potencial elétrico de um condutor esférico, de raio R carregado com carga Q, é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_0\frac{Q}{R}} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} C=\frac{Q}{k_0\dfrac{Q}{R}} \\[5pt] C=\frac{\cancel Q}{k_0}\frac{R}{\cancel Q} \\[5pt] C=\frac{R}{k_0} \tag{III} \\[5pt] R=Ck_0 \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} R=1\times 9\times 10^9 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {R=9\times 10^9\;\mathrm m} \end{gather} \]

Observação: este resultado mostra que 1 farad é uma unidade muito grande, para termos uma esfera com esta capacidade ela deveria ter 9×10⁶ km = 9000000 km de raio.

b) Em primeiro lugar, vamos converter o raio da Terra dado em quilômetros (km) para metros (m) usados no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m \end{gather} \]

Usando a equação (III) do item anterior

\[ \begin{gather} C=\frac{R}{k_0} \\[5pt] C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9} \\[5pt] C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9} \\[5pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}} \end{gather} \]

Observação: como 1 farad é uma unidade muito grande, este resultado nos mostra porque é comum o uso de submúltiplos como mili (m) = 10⁻³, micro (μ) = 10⁻⁶ ou pico (p) = 10⁻⁹.

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