Gelöste Übung zu Kondensatoren

a) Welchen Radius muss eine leitende Kugel im Vakuum haben, damit ihre Kapazität 1 F beträgt?
b) Angenommen, die Erde sei eine perfekte Kugel mit einem Radius von 6400 km. Wie groß ist ihre elektrische Kapazität?
Coulomb-Konstante im Vakuum: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Gegebene Daten:

Elektrische Kapazität des Leiters: C=1 F;
Erdradius: R_T=6400 km;
Coulomb-Konstante im Vakuum: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).

Lösung:

a) Die elektrische Kapazität als Funktion von der Ladung Q und dem Potential V ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{Q}{V}} \tag{I} \end{gather} \]

Das elektrische Potential eines geladenen leitenden Körpers in Kugelform mit dem Radius R und der Ladung Q ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_e\frac{Q}{R}} \tag{II} \end{gather} \]

einsetzen der Gleichung (II) in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} C=\frac{Q}{k_e\dfrac{Q}{R}} \\[5pt] C=\frac{\cancel Q}{k_e}\frac{R}{\cancel Q} \\[5pt] C=\frac{R}{k_e} \tag{III} \\[5pt] R=Ck_e \end{gather} \]

einsetzen der gegebenen Werte

\[ \begin{gather} R=1\times 9\times 10^9 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {R=9\times 10^9\;\mathrm m} \end{gather} \]

Anmerkung: Dieses Ergebnis zeigt, dass 1 Farad eine sehr große Einheit ist – damit eine Kugel diese Kapazität besitzt, müsste sie einen Radius von 9×10⁶ = 9.000.000 km haben.

b) Zuerst konvertieren wir den gegebenen Erdradius von Kilometern (km) in Meter (m), wie im Internationalen Einheitensystem (SI) verwendet.

\[ \begin{gather} R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m \end{gather} \]

Verwendung der Gleichung (III) aus dem vorherigen Abschnitt

\[ \begin{gather} C=\frac{R}{k_e} \\[5pt] C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9} \\[5pt] C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9} \\[5pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}} \end{gather} \]

Anmerkung: Da 1 Farad eine sehr große Einheit ist, zeigt uns dieses Ergebnis, warum üblicherweise kleinere Einheiten wie Milli (m) = 10⁻³, Mikro (μ) = 10⁻⁶ oder Piko (p) = 10⁻⁹ verwendet werden.

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