Exercício Resolvido de Dinâmica
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Em uma máquina de Atwood os dois corpos, apoiados sobre uma superfície horizontal, estão ligados por uma corda, de massa desprezível e inextensível, que passa por uma polia, sem inércia e sem atrito. Dadas as massas ma = 24 kg e mb = 40 kg. Determinar as acelerações dos corpos quando:
a) F = 400 N;
b) F = 720 N;
c) F = 1200 N.

 

Dados do problema:

  • Massa do corpo A:    ma = 24 kg;
  • Massa do corpo B:    mb = 40 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado positivamente no mesmo sentido da força \( \vec F \).
A força aplicada em uma polia se divide igualmente entre os dois lados (Figura 1-A), assim a força de cada lado da polia será \( \frac{\vec F}{2} \).

Figura 1

Como a corda é ideal, de massa desprezível e inextensível, ela somente transmite a força na polia para os corpos. A componente da força \( \vec F \) sobre cada corpo será \( \frac{\vec F}{2} \) (Figura 1-B).
Fazendo um Diagrama de Corpo Livre, temos as forças que atuam nos blocos.

  • Corpo A (Figura 2):
    • \( \dfrac{\vec F}{2} \): força transmitida da polia;
    • \( {\vec P}_a \): peso do corpo A.
Figura 2
  • Corpo B (Figura 3):
    • \( \dfrac{\vec F}{2} \): força transmitida da polia;
    • \( {\vec P}_b \): peso do corpo B.
Figura 3

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_a=m_aa_a \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_b=m_ba_b \tag{II} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

para os corpos A e B

\[ \begin{gather} P_a=m_ag \tag{III} \\[10pt] P_b=m_bg \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_ag=m_aa_a \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (II)

\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_bg=m_ba_b \tag{VI} \end{gather} \]

a) Para   \( F=400\;\text N \),   a aceleração do corpo A é dada pela equação (V)

\[ \begin{gather} a_a=\frac{\dfrac{400}{2}-24\times 9,8}{24} \\[5pt] a_a=-{\frac{35,2}{24}} \\[5pt] a_a=-1,5\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

A aceleração do corpo B é dada pela equação (VI)

\[ \begin{gather} a_b=\frac{\dfrac{400}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_b=-{\frac{192}{40}}\\[5pt] a_b=-4,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Como as acelerações são negativas, os corpos devem se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como estão sobre uma superfície, eles permanecem em repouso e suas acelerações são nulas
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_a=a_b=0} \end{gather} \]
Figura 4

 

b) Para   \( F=720\;\text N \),   a aceleração do corpo A é dada pela equação (V)

\[ \begin{gather} a_a=\frac{\dfrac{720}{2}-24\times 9,8}{24} \\[5pt] a_a=\frac{124,8}{24} \\[5pt] a_a=5,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

A aceleração do corpo B é dada pela equação (VI)

\[ \begin{gather} a_b=\frac{\dfrac{720}{2}-40\times 9,8}{40} \\[5pt] a_b=-{\frac{32}{40}} \\[5pt] a_b=-0,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
O corpo A tem aceleração
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_a=5,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Como a aceleração do corpo B é negativa, este deve se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como está sobre uma superfície, ele permanece em repouso e sua aceleração será nula
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_b=0} \end{gather} \]
Figura 5

 

c) Para   \( F=1200\;\text N \),   a aceleração do corpo A é dada pela equação (V)

\[ \begin{gather} a_a=\frac{\dfrac{1200}{2}-24\times 9,8}{24} \\[5pt] a_a=\frac{364,8}{24} \\[5pt] a_a=15,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
A aceleração do corpo B é dada a equação (VI)
\[ \begin{gather} a_b=\frac{\dfrac{1200}{2}-40\times 9,8}{40} \\[5pt] a_b=\frac{208}{40} \\[5pt] a_b=4,3\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Figura 6

O corpo A tem aceleração

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_a=15,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

e o corpo B tem aceleração

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_b=4,3\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
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