Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura os corpos A e B, de massas 20 kg e 10 kg respectivamente, estão ligados por uma corda. Na corda está fixo um dinamômetro, onde se lê que a força de tensão na corda é de 100 N, e entre o corpo A e o plano existe atrito. A corda é inextensível e passa por uma polia sem atrito e de massa desprezível. Determinar a aceleração do sistema e o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 20 kg;
  • Massa do corpo B:    mB = 10 kg;
  • Leitura da força de tensão no dinamômetro:    T = 100 N;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo A está descendo, mesmo sentido da aceleração da gravidade (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Bloco A (Figura 2):
    • \( {\vec P}_{\small A} \): peso do bloco A;
    • \( \vec T \): força de tensão na corda.

Figura 2

  • Bloco B (Figura 3):
    • Direção vertical:
      • \( {\vec P}_{\small B} \): peso do corpo B;
      • \( {\vec N}_{\small B} \): força de reação normal da superfície sobre o bloco B.
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T \): tensão na corda;
      • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o bloco e a superfície.

Figura 3
Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Bloco A:
\[ \begin{gather} P_{\small A}-T=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]
para o corpo A
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a equação (III) na equação (I)
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T=m_{\small A}a\\[5pt] a=\frac{m_{\small A}g-T}{m_{\small A}}\\[5pt] a=\frac{20\times 9,8-100}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=4,8\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção horizontal:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} T-F_{at}=m_{\small B}a \tag{IV} \end{gather} \]
A força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{at}=\mu \vec N} \end{gather} \]
para o bloco B
\[ \begin{gather} F_{at}=\mu N_{\small B} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[ \begin{gather} T-\mu N_{\small B}=m_{\small B}a \tag{VI} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção vertical:
Nesta direção não há movimento, a força peso e a reação normal se equilibram
\[ \begin{gather} N_{\small B}=P_{\small B} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a equação (II) para a força peso do corpo B
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[ \begin{gather} N_{\small B}=m_{\small B}g \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a equação (IX) na equação (VI), os dados do problema e a aceleração encontrada acima
\[ \begin{gather} T-\mu m_{\small B}g=m_{\small B}a\\[5pt] \mu=\frac{T-m_{\small B}a}{m_{\small B}g}\\[5pt] \mu=\frac{100-10\times 4,8}{10\times 9,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu\approx 0,5} \end{gather} \]
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