Esercizio Risolto di Moto Circolare
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Un ragazzo fa ruotare, sopra la propria testa, una pietra legata a un cordino con velocità scalare costante,
il raggio della circonferenza descritta dalla pietra è di 1 m e compie un giro in 2 s. Determinare:
a) La velocità scalare della pietra;
b) Il modulo dell’accelerazione centripeta che agisce sulla pietra.
a) La velocità scalare della pietra;
b) Il modulo dell’accelerazione centripeta che agisce sulla pietra.
Dati del problema:
- Raggio della traiettoria: R = 1 m;
- Periodo di rotazione: T = 2 s.
Schema del problema:
Nel sistema abbiamo la velocità \( \vec v \) che è tangente alla traiettoria e l’accelerazione centripeta \( {\vec a}_{cp} \) che agisce nella direzione del cordino, con verso rivolto verso il centro della circonferenza. L’accelerazione centripeta è responsabile della variazione della direzione della velocità scalare (fa sì che la pietra percorra la curva).
Nel sistema abbiamo la velocità \( \vec v \) che è tangente alla traiettoria e l’accelerazione centripeta \( {\vec a}_{cp} \) che agisce nella direzione del cordino, con verso rivolto verso il centro della circonferenza. L’accelerazione centripeta è responsabile della variazione della direzione della velocità scalare (fa sì che la pietra percorra la curva).
Soluzione:
a) La velocità scalare è data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=\omega r} \tag{I}
\end{gather}
\]
dove ω è la velocità angolare data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\omega=\frac{2\pi}{T}} \tag{II}
\end{gather}
\]
sostituendo l’equazione (II) nell’equazione (I)
\[
\begin{gather}
v=\frac{2\pi}{T}r
\end{gather}
\]
sostituendo i dati del problema e usando π = 3,14
\[
\begin{gather}
v=\frac{\cancel 2\times 3,14}{\cancel 2}\times 1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=3,14\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
b) Il modulo dell’accelerazione centripeta è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|=\frac{v^2}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
|\;a_{cp}\;|=\frac{3,14^2}{1} \\[5pt]
|\;a_{cp}\;|=\frac{9,86}{1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|\approx 9,86\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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