Gelöste Aufgabe zur Kreisbewegung

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FISICAEXE

Ein Junge dreht einen an einer Schnur befestigten Stein mit konstanter Bahngeschwindigkeit über seinem Kopf. Der Radius der vom Stein beschriebenen Kreisbahn beträgt 1 m, und der Stein führt eine Umdrehung in 2 s aus. Bestimmen Sie:
a) Die Bahngeschwindigkeit des Steins;
b) Den Betrag der Zentripetalbeschleunigung, die auf den Stein wirkt.

Gegebene Daten:

Radius der Bahn: R = 1 m;
Umlaufdauer: T = 2 s.

Schema des Problems:

Im System haben wir die Geschwindigkeit \( \vec v \) , die tangential zur Bahn verläuft, und die Zentripetalbeschleunigung, \( {\vec a}_z \) die in Richtung der Schnur wirkt, wobei sie zum Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist. Die Zentripetalbeschleunigung ist dafür verantwortlich, die Richtung der Bahngeschwindigkeit zu ändern (sie bewirkt, dass der Stein die Kurve beschreibt).

Abb. 1

Lösung:

a) Die Bahngeschwindigkeit ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=\omega r} \tag{I} \end{gather} \]

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist, die gegeben ist durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\omega=\frac{2\pi}{T}} \tag{II} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (II) in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} v=\frac{2\pi}{T}r \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gegebenen Daten und unter Verwendung von π = 3,14

\[ \begin{gather} v=\frac{\cancel 2\times 3,14}{\cancel 2}\times 1 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v=3,14\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {|\;a_z\;|=\frac{v^2}{r}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} |\;a_z\;|=\frac{3,14^2}{1} \\[5pt] |\;a_z\;|=\frac{9,86}{1} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {|\;a_z\;|\approx 9,86\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]