Esercizio Risolto di Moto Circolare
DE
EN
ES
FR
PT-BR
pubblicità
Un’elica di aeroplano ha pale lunghe 2 m e ruota con una frequenza di 1200 rpm. Calcolare:
a) La frequenza in hertz;
b) Il periodo delle rotazioni;
c) La velocità angolare dell’elica;
d) La velocità scalare di un punto situato all’estremità di una delle pale dell’elica;
e) Il modulo dell’accelerazione centripeta.
a) La frequenza in hertz;
b) Il periodo delle rotazioni;
c) La velocità angolare dell’elica;
d) La velocità scalare di un punto situato all’estremità di una delle pale dell’elica;
e) Il modulo dell’accelerazione centripeta.
Dati del problema:
Considerando un punto all’estremità dell’elica, abbiamo che la velocità, \( \vec v \) , sarà tangente alla traiettoria e l’elica ruota con velocità angolare ω (Figura 1).
- Lunghezza dell’elica (raggio della circonferenza): r = 2 m;
- Frequenza di rotazione: f = 1200 rpm.
Considerando un punto all’estremità dell’elica, abbiamo che la velocità, \( \vec v \) , sarà tangente alla traiettoria e l’elica ruota con velocità angolare ω (Figura 1).
Soluzione:
a) Convertendo la frequenza data in rpm in hertz
\[
\begin{gather}
f=1200\frac{\text{rotações}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm{s}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{f=20\;\mathrm{Hz}}
\end{gather}
\]
Osservazione: Le Rotazioni sono un numero adimensionale, perciò non compaiono nel risultato
finale.
b) Il periodo in funzione della frequenza sarà dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=\frac{1}{f}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T=\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=0,05\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
c) La velocità angolare in funzione della frequenza sarà data da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\omega =2\pi f}
\end{gather}
\]
usando la frequenza ottenuta nel punto (a)
\[
\begin{gather}
\omega=2\times\pi\times 20
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\omega=40 \pi\;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
Osservazione: La velocità angolare può essere ottenuta anche usando il periodo calcolato nel punto (b).
L’equazione per la velocità angolare in funzione del periodo sarà
\[
\begin{gather}
\omega=\frac{2\pi}{T} \\[5pt]
\omega=\frac{2\pi}{0,05}=40\pi\;\mathrm{rad/s}
\end{gather}
\]
d) Adottando \( \pi=3,14 \) la velocità scalare si avrà
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v=40\times 3,14\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v \approx 251\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
e) Il modulo dell’accelerazione centripeta è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|=\frac{v^2}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
|\;a_{cp}\;|=\frac{251^2}{2} \\[5pt]
|\;a_{cp}\;|=\frac{63001}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|\approx 31501\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
pubblicità