Gelöste Aufgabe zur Kreisbewegung
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Ein Flugzeugpropeller hat Blätter mit einer Länge von 2 m und dreht sich mit einer Frequenz von 1200 min−1.
Berechnen Sie:
a) Die Frequenz in Hertz;
b) Die Umlaufdauer;
c) Die Winkelgeschwindigkeit des Propellers;
d) Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes, der sich an der Spitze eines der Propellerblätter befindet;
e) Den Betrag der Zentripetalbeschleunigung.
a) Die Frequenz in Hertz;
b) Die Umlaufdauer;
c) Die Winkelgeschwindigkeit des Propellers;
d) Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes, der sich an der Spitze eines der Propellerblätter befindet;
e) Den Betrag der Zentripetalbeschleunigung.
Gegebene Daten:
Wählen wir einen Punkt am Ende des Propellerblattes, so ist die Geschwindigkeit, \( \vec v \) , tangential zur Bahn, und der Propeller dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω (Abbildung 1).
- Länge des Propellers (Radius der Kreisbahn): r = 2 m;
- Drehfrequenz: f = 1200 min−1.
Wählen wir einen Punkt am Ende des Propellerblattes, so ist die Geschwindigkeit, \( \vec v \) , tangential zur Bahn, und der Propeller dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω (Abbildung 1).
Lösung:
a) Umrechnung der gegebenen Frequenz von min−1 in Hertz
\[
\begin{gather}
f=1200\frac{\text{Umdrehungen}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm{s}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{f=20\;\mathrm{Hz}}
\end{gather}
\]
Anmerkung: Umdrehungen sind eine dimensionslose Größe und erscheinen daher im Endergebnis
nicht.
b) Die Umlaufdauer als Funktion der Frequenz ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=\frac{1}{f}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T=\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{T=0,05\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
c) Die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Frequenz ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\omega =2\pi f}
\end{gather}
\]
unter Verwendung der in Punkt (a) erhaltenen Frequenz
\[
\begin{gather}
\omega=2\times\pi\times 20
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{\omega=40 \pi\;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
Anmerkung: Die Winkelgeschwindigkeit kann auch mithilfe der in Punkt (b) berechneten Umlaufdauer
bestimmt werden. Die Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Umlaufdauer lautet
\[
\begin{gather}
\omega=\frac{2\pi}{T} \\[5pt]
\omega=\frac{2\pi}{0,05}=40\pi\;\mathrm{rad/s}
\end{gather}
\]
d) Für \( \pi=3,14 \) die Bahngeschwindigkeit gilt
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v=40\times 3,14\times 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{v \approx 251\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
e) Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|=\frac{v^2}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
|\;a_{cp}\;|=\frac{251^2}{2} \\[5pt]
|\;a_{cp}\;|=\frac{63001}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{|\;a_{cp}\;|\approx 31501\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
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