Esercizio Risolto di Forza Elettrica

La distanza tra il protone e l’elettrone in un atomo di idrogeno è di 5,3×10⁻¹¹ m. Determinare:
a) L’intensità della forza gravitazionale tra il protone e l’elettrone;
b) L’intensità della forza elettrica tra il protone e l’elettrone;
c) Confrontare le due forze.
Considerare i seguenti valori:
massa del protone:    \( m_p=1,7\times 10^{-27}\;\mathrm{kg} \) ;
massa dell’elettrone:    \( m_e=9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
Costante di Gravitazione Universale: \( G=6,67\times 10^{-11}\;\mathrm{\frac{N.m^2}{kg^2}} \) ;
carica del protone:    \( q_p=1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
carica dell’elettrone:    \( q_e=-1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
Costante di Coulomb:    \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \) .

Dati del problema:

Distanza tra il protone e l’elettrone: \( r=5,3\times 10^{-11}\;\mathrm m \) ;
Massa del protone: \( m_p=1,7\times 10^{-27}\;\mathrm{kg} \) ;
Massa dell’elettrone: \( m_e=9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
Costante di Gravitazione Universale:: \( G=6,67\times 10^{-11}\;\mathrm{\frac{N.m^2}{kg^2}} \) ;
Carica del protone: \( q_p=1,6\times 10^{-19}\;\mathrm{C} \) ;
Carica dell’elettrone: \( q_{e}=-1,6\times 10^{-19}\;\text{C} \) ;
Costante di Coulomb: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \) .

Soluzione:

a) Applicando la Legge di Gravitazione Universale, il modulo della forza gravitazionale è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small G}=G\frac{M\;m}{r^2}} \end{gather} \]

sostituendo i dati per il protone e l’elettrone, la forza gravitazionale tra di essi sarà

\[ \begin{gather} F_{\small G}=G\frac{m_p m_e}{r^2}\\[5pt] F_{\small G}=6,67\times 10^{-11}\times \frac{1,7\times 10^{-27}\times 9,1\times 10^{-31}}{\left(5,3\times 10^{-11}\right)^{2}}\\[5pt] F_{\small G}=\frac{103,4\times 10^{-69}\times 10^{22}}{28,1} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small G}=3,7\times 10^{-47}\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Applicando la Legge di Coulomb, il modulo della forza elettrica è dato da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small E}=k_e\frac{|\;Q\;||\;q\;|}{r^2}} \end{gather} \]

sostituendo i dati per il protone e l’elettrone, la forza elettrica tra di essi sarà

\[ \begin{gather} F_{\small E}=k_e\;\frac{|\;q_p\;||\;q_e\;|}{r^2}\\[5pt] F_{\small E}=9\times 10^9\times \frac{|\;1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C\;|\times|\;-1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C\;|}{\left(5,3\times 10^{-11}\right)^{2}}\\[5pt] F_{\small E}=\frac{23,4\times 10^{-29}\times 10^{22}}{28,1} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small E}=8,3\times 10^{-8}\;\mathrm{N}} \end{gather} \]

c) Confrontando le due forze

\[ \begin{gather} \frac{F_{\small E}}{F_{\small G}}=\frac{8,3\times 10^{-8}\;\mathrm{\cancel N}}{3,7\times 10^{-47}\;\mathrm{\cancel N}}\\[5pt] \frac{F_{\small E}}{F_{\small G}}=2,2\times 10^{-8}\times 10^{47}\\[5pt] F_{\small E}=2,2\times 10^{39}F_{\small G} \end{gather} \]

Questo risultato significa che la forza elettrica è 2,2×10³⁹ volte più grande della forza gravitazionale tra un protone e un elettrone nell’atomo di idrogeno.

Osservazione: Immagina una forza

2.200.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

più grande di un’altra. In molte situazioni pratiche, la forza gravitazionale tra particelle può essere trascurata nei calcoli rispetto alla forza elettrica.

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