Exercice Résolu sur les Travail et Énergie
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Pour retirer de l'eau d'un puits, on utilise une pompe d'une puissance utile de 3675 W, la profondeur du puits est de 30 mètres. Calculer le volume d'eau qui peut être extrait en 24 heures. La masse volumique de l'eau est de 1000 kg/m3.


Données du problème:
  • Puissance de la pompe:    \( \mathscr{P} \) = 3675 W;
  • Profondeur du puits:    h = 30 m;
  • Intervalle de temps de fonctionnement de la pompe:    Δ t = 24 h;
  • Masse volumique de l'eau:    ρ = 1000 kg/m3;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Nous choisisson un Niveau de Référence (NR) à la surface de l'eau du puits (Figure 1).
Figure 1

Solution

Tout d'abord, nous devons convertir l'intervalle de temps donné en heures (h) en secondes (s) utilisées dans le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel{h}}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]
La puissance est donnée par la variation de l'énergie par unité de temps
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P} =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]
La variation de l'énergie totale sera donnée par la variation de l'énergie potentielle
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]
l'énergie potentielle est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]
en substituant l'équation (III) dans l'équation (II), la variation de l'énergie potentielle lorsque la masse d'eau est soulevée du fond du puits (niveau de référence, h0 = 0) jusqu'à la surface sera
\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0\\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0\\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]
en substituant l'équation (IV) dans l'équation (I).
\[ \begin{gather} \mathscr{P} =\frac{mgh}{\Delta t}\\[5pt] m=\frac{\mathscr{P} \Delta t}{gh}\\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30}\\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
La masse volumique est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\rho =\frac{m}{V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\rho}\\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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