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FISICAEXE
Exercício Resolvido de Trabalho e Energia
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Para retirar água de um poço, utiliza-se uma bomba de potência útil 3675 W, a profundidade do poço é 30 m. Calcular o volume de água que pode ser extraído em 24 h. A massa específica da água é de 1000 kg/m3.

Dados do problema:

  • Potência da bomba: \( \mathscr P \) = 3675 W;
  • Profundidade do poço: h = 30 m;
  • Intervalo de tempo de operação da bomba: Δ t = 24 h;
  • Massa específica da água: μ = 1000 kg/m3;
  • Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um Nível de Referência (N.R.) na superfície da água do poço (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar, devemos converter o intervalo de tempo dado em horas (h) para segundos (s) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel h}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]

A potência é dada pela variação da energia por unidade de tempo.

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\mathscr P =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]

A variação da energia total será a dada pela variação da energia potencial.

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]

a energia potencial é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (II), a variação da energia potencial quando a massa de água é levada do fundo do poço (nível de referência, h0 = 0) até a superfície será

\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0 \\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0 \\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (I)

\[ \begin{gather} \mathscr P =\frac{mgh}{\Delta t} \\[5pt] m=\frac{\mathscr P \Delta t}{gh} \\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30} \\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

A massa específica é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {\mu =\frac{m}{V}} \end{gather} \]

O volume de água retirado será

\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\mu} \\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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