Exercício Resolvido de Trabalho e Energia
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Para retirar água de um poço utiliza-se uma bomba de potência útil 3675 W, a profundidade do poço é 30 m. Calcular o volume de água que pode ser extraído em 24 h. A massa específica da água é de 1000 kg/m3.


Dados do problema:
  • Potência da bomba:    \( \mathscr{P} \) = 3675 W;
  • Profundidade do poço:    h = 30 m;
  • Intervalo de tempo de operação da bomba:    Δ t = 24 h;
  • Massa específica da água:    μ = 1000 kg/m3;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um Nível de Referência (N.R.) na superfície da água do poço (Figura 1).
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter o intervalo de tempo dado em horas (h) para segundos (s) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel{h}}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]
A potência é dada pela variação da energia por unidade de tempo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P} =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]
A variação da energia total será a dada pela variação da energia potencial
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]
a energia potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a equação (III) na equação (II), a variação da energia potencial quando a massa de água é levada do fundo do poço (nível de referência, h0 = 0) até a superfície será
\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0\\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0\\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (I)
\[ \begin{gather} \mathscr{P} =\frac{mgh}{\Delta t}\\[5pt] m=\frac{\mathscr{P} \Delta t}{gh}\\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30}\\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
A massa específica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\mu}\\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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