Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Uma marreta é formada por um cabo de massa 0,6 kg e 70 cm de comprimento e uma cabeça de 3 kg e 6 cm de largura. Calcule o momento de inércia e o período de oscilações dessa ferramenta quando ela oscila em torno de um ponto na extremidade superior do cabo. Adote g = 9,8 m/s2 para a aceleração da gravidade.



Dados do problema:
  • Massa do cabo:    m = 0,6 kg;
  • Comprimento do cabo:    d = 70 cm;
  • Massa da cabeça:    M = 3 kg;
  • Largura da cabeça:    D = 6 cm.
Solução

Em primeiro lugar devemos converter as dimensões do cabo e da cabeça da marreta, dadas em centímetros (cm), para metros (m) usadas no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} d=70\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,7\;\text{m}\\[5pt] D=6\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,06\;\text{m} \end{gather} \]
  • Momento de inércia do cabo
O momento de inércia de uma barra perpendicular ao eixo de rotação que passa pela extremidade da barra é dado por (Figura 1)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\int r^{2}\;dm} \tag{I} \end{gather} \]
Usando a expressão para a densidade linear de massa obtemos o elemento de massa dm
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\lambda =\frac{dm}{dr}} \]

Figura 1

\[ \begin{gather} dm=\lambda \;dr \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ I=\int r^{2}\lambda \;dr \]
a densidade linear do cabo λ é constante e pode sair da integral, a integração é feita de 0 a d em dr
\[ I=\lambda \int_{0}^{d}{r^{2}\;dr} \]

Integração de    \( \displaystyle \int_{0}^{d}{r^{2}\;dr} \)
\[ \int_{0}^{d}{r^{2}\;dr}=\left.\frac{r^{2+1}}{2+1}\right|_{0}^{d}=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{d}=\frac{d^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{d^{3}}{3} \]
\[ \begin{gather} I=\lambda \frac{d^{3}}{3}\\ I=\lambda d\frac{d^{2}}{3} \end{gather} \]
o termo λd é a massa m do cabo, o momento de inércia será
\[ \begin{gather} I=\frac{1}{3}md^{2} \tag{III} \end{gather} \]
  • Momento de inércia da cabeça da marreta
Considerando a cabeça da marreta como um corpo pontual com toda a massa concentrada no centro de massa. A cabeça da marreta tem 6 cm de largura, o centro de massa está na posição central a 3 cm = 0,03 m da borda. A posição do centro de massa em relação ao eixo de rotação será a soma do comprimento do cabo mais a posição do centro de massa da cabeça da marreta, L = 0,7+0,03 = 0,73 m (Figura 2).
O momento de inércia de uma massa pontual é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {I=mr^{2}} \]

Figura 2
\[ \begin{gather} I=ML^{2} \tag{IV} \end{gather} \]
O momento de inércia da marreta será
\[ \begin{gather} I=\frac{1}{3}md^{2}+ML^{2}\\ I=\frac{1}{3}.0,6.0,7^{2}+3.0,73^{2}\\ I=0,098+1,599 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {I=1,697\;\text{kg.m}^{2}} \]
O período de oscilações é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgr}}} \]
onde I é o momento de inércia encontrado acima, m é a massa total do sistema, mT, e r é a posição do centro de massa do sistema, rCM. A massa total é dada por
\[ \begin{gather} m_{T}=m+M\\ m_{T}=0,6+3\\ m_{T}=3,6\;\text{kg} \tag{V} \end{gather} \]
  • Posição do centro de massa da marreta
Adotamos um sistema de referência com origem no cabo da marreta e orientado para a direita. O centro de massa do cabo está no meio do cabo, \( r_{1}=\frac{d}{2}=\frac{0,7}{2}=0,35\;\text{m} \), e o centro de massa da cabeça está no meio da cabeça somado ao comprimento do cabo, \( r_{2}=\frac{D}{2}+d=\frac{0,06}{2}+0,7=0,73\;\text{m} \) (Figura 3).
Figura 3
A posição do centro de massa é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {r_{CM}=\frac{m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \]
\[ \begin{gather} r_{CM}=\frac{mr_{1}+Mr_{2}}{m+M}\\[5pt] r_{CM}=\frac{0,6.0,35+3.0,73}{0,6+3}\\[5pt] r_{CM}=\frac{2,4}{3,6}\\[5pt] r_{CM}\approx0,67\;\text{m} \end{gather} \]
O período de oscilações será
\[ \begin{gather} T=2.3,14\sqrt{\frac{1,697}{3,6.9,8.0,67}}\\ T=6,28\sqrt{\frac{1,697}{23,64}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T=1,68\;\text{s}} \]
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