Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x \)
\[ \mathsf{b)}\;\; \displaystyle w=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x+i(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x \]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.
As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x\\
v(x,y)=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\cos x\\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=-(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x
\end{array}
\]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\
(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x\neq(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\cos x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\
(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x=-[-(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x]\\
(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função w é contínua e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica.
A derivada é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\]
\[
w'=(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\cos x-i(\operatorname{e}^{y}+\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x\neq(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\cos x-i(\operatorname{e}^{y}-\operatorname{e}^{-y})\operatorname{sen}x
\]
A derivada não é única.
A função w não é derivável em nenhum ponto do plano complexo.
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