Exercício Resolvido de Radiação de Corpo Negro
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Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda de 5500 Å a 5510 Å.
Dados do problema:
- Temperatura da cavidade: T = 6000 K;
- Diâmetro do orifício: d = 0,10 mm;
- Comprimento de onda mínima: λ1 = 5500 Å;
- Comprimento de onda máxima: λ2 = 5510 Å.
- Velocidade da luz: c = 2,998.108 m/s;
- Constante de Planck: h = 6,63.10--34 J.s;
- Constante de Boltzmann: k = 1,38.10--23 J/K.
a) A radiância total é definida como a potência irradiada por unidade de área
\[
\begin{gathered}
R_{T}=\frac{P}{A}
\end{gathered}
\]
a integral da radiância sobre todas as frequências fornece a potência irradiada
\[
\begin{gather}
P=A\int {}R_{T}(\nu)\;d\nu \tag{I}
\end{gather}
\]
A relação entre a radiância espectral e a densidade de energia é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_{T}(\nu)=\frac{c}{4}\rho (\nu)} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I) e integrando no intervalo de frequências do problema
\[
\begin{gather}
P=A\int_{\nu_{1}}^{\nu_{2}}{}\frac{c}{4}\rho (\nu)\;d\nu \\[5pt]
P=\frac{Ac}{4}\int_{\nu_{1}}^{\nu_{2}}{}\rho (\nu)\;d\nu \tag{III}
\end{gather}
\]
a Lei da Radiação de Planck para a densidade de energia é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho (\nu)\;d\nu =\frac{8\pi \nu^{3}}{c^{3}}\frac{h}{\operatorname{e}^{h\nu/{kT}}-1}\;d\nu} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gathered}
P=\frac{Ac}{4}\int_{\nu_{1}}^{\nu_{2}}{}\frac{8\pi \nu ^{3}}{c^{3}}\frac{h}{\operatorname{e}^{h\nu/{kT}}-1}\;d\nu \\[5pt]
P=\frac{2A\pi h}{c^{2}}\int_{\nu_{1}}^{\nu_{2}}{}\frac{\nu ^{3}}{\operatorname{e}^{h\nu/{kT}}-1}\;d\nu
\end{gathered}
\]
Observação: Não precisamos calcular a integral, podemos aproximar o valor usando o
Teorema do Valor Médio para Integrais.
A integral de uma função f(x) em um intervalo [a, b] representa a área sob a curva (Figura 1), pelo Teorema do Valor Médio para Integrais temos um valor f(c) da função que determina um retângulo com base igual ao comprimento do intervalo e altura f(c) (Figura 2).
Figura 1
Figura 2
O ponto c está localizado em um lugar qualquer do intervalo [a, b], de tal forma que
o valor f(c) nos dê áreas iguais sob as curvas.
Em particular se a função f(x) for linear o ponto c está no ponto médio do intervalo [a, b] (Figura 3). Isso acontece porque as áreas acima e abaixo do valor de f(c) se compensam.
Figura 3
No problema a diferença de comprimentos de onda em relação aos valores dados é
Figura 4
Figura 5
A integral de uma função f(x) em um intervalo [a, b] representa a área sob a curva (Figura 1), pelo Teorema do Valor Médio para Integrais temos um valor f(c) da função que determina um retângulo com base igual ao comprimento do intervalo e altura f(c) (Figura 2).
Em particular se a função f(x) for linear o ponto c está no ponto médio do intervalo [a, b] (Figura 3). Isso acontece porque as áreas acima e abaixo do valor de f(c) se compensam.
No problema a diferença de comprimentos de onda em relação aos valores dados é
\[
\begin{gathered}
\frac{\Delta \lambda }{\lambda _{1}}=\frac{\lambda _{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{5510.10^{-10}-5500.10^{-10}}{5500.10^{-10}}=0,002
\end{gathered}
\]
\[
\begin{gathered}
\frac{\Delta \lambda }{\lambda _{2}}=\frac{\lambda _{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{5510.10^{-10}-5500.10^{-10}}{5510.10^{-10}}=0,002
\end{gathered}
\]
vemos que a variação no intervalo de comprimentos de onda varia de 2 partes por 1000, este intervalo é
pequeno, como frequências e comprimentos de onda estão relacionados o intervalo de frequências em que
devemos integrar a função é pequeno (Figura 4), podemos aproximar o intervalo infinitesimal de
frequências, dν, pelo intervalo, Δν, e a variável de integração, ν,
pode ser substituída pelo seu valor médio, νm (Figura 5).
Podemos substituit a integral para a potência pela seguinte expressão
\[
\begin{gathered}
P=\frac{2A\pi h}{c^{2}}\frac{\nu_{m}^{3}}{\operatorname{e}^{h\nu_{m}/{kT}}-1}\;\Delta \nu
\end{gathered}
\]
A frequência é dada por
\[
\begin{gathered}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\nu =\frac{c}{\lambda}}
\end{gathered}
\]
\[
\begin{gathered}
\nu_{1}=\frac{c}{\lambda _{1}}\\[5pt]
\nu_{1}=\frac{2,998.10^{8}}{5500.10^{-10}}\\[5pt]
\nu_{1}=5,4509.10^{14}\;\text{Hz}
\end{gathered}
\]
\[
\begin{gathered}
\nu_{2}=\frac{c}{\lambda _{2}}\\[5pt]
\nu_{2}=\frac{2,998.10^{8}}{5510.10^{-10}}\\[5pt]
\nu_{2}=5,4410.10^{14}\;\text{Hz}
\end{gathered}
\]
Substituindo a variável de integração ν pelo valor médio do intervalo de frequências
\[
\begin{gathered}
\nu_{m}=\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\\[5pt]
\nu_{m}=\frac{5,4509.10^{14}+5,4410.10^{14}}{2}\\[5pt]
\nu_{m}=\frac{10,8919.10^{14}}{2}\\
\nu_{m}=5,446.10^{14}\;\text{Hz}
\end{gathered}
\]
e substituindo o intervalo diferencial dν pelo intervalo Δν dado por
\[
\begin{gathered}
\Delta \nu =\nu_{1}-\nu_{2}\\[5pt]
\Delta \nu=5,4509.10^{14}-5,4410.10^{14}\\[5pt]
\Delta \nu=9,9.10^{11}\;\text{Hz}
\end{gathered}
\]
A área do orifício será
\[
\begin{gathered}
A=\pi r^{2}\\A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\\[5pt]
A=3,14.\left(\frac{10.10^{-3}}{2}\right)^{2}\\[5pt]
A=7,85.10^{-5}\;\text{m}^{2}
\end{gathered}
\]
substituindo os dados
\[
\begin{split}
P=&\frac{2.(7,85.10^{-5}).3,14.(6,63.10^{-34})}{(2,998.10^{8})^{2}}\times\\
&\times\frac{(5,446.10^{14})^{3}}{\operatorname{e}^{(6,63.10^{-34}).(5,446.10^{14})/{[(1,38.10^{-23}).(6000)]}}-1}.(9,9.10^{11})\\[5pt]
&\quad \quad P=\frac{3,27.10^{-37}}{8,98.10^{16}}.\frac{1,62.10^{44}}{\operatorname{e}^{4,36}-1}.(9,9.10^{11})\\[5pt]
&\quad \quad P=3,64.10^{-54}.2,09.10^{42}.9,9.10^{11}
\end{split}
\]
\[
\begin{gathered}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{P=7,5\;\text{W}}
\end{gathered}
\]
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