Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m = 0,1 kg é ligado a uma mola de constante elástica k = 0,6 N/m e a um amortecedor de constante de amortecimento b = 0,5 N.s/m. O bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio O até um ponto P a 0,1 m e lançado com velocidade inicial de 0,28 m/s na direção do ponto O. Determine:
a) A equação do movimento;
b) Classifique o tipo de oscilação;
c) O gráfico da posição x em função do tempo t.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m = 0,1 kg;
  • Constante elástica da mola:    k = 0,6 N/m;
  • Constante de amortecimento:    b = 0,5 N.s/m;
  • Posição inicial (t = 0):    x0 = 0,1 m;
  • Velocidade inicial (t = 0):    v0 = 0,28 m.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição x0 = 0,1 m e quando lançado a força elástica da mola fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade aponta na direção contrária do referencial, v0 = −0,28 m (Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema:
Figura 1

\[ \begin{array}{l} x(0)=0,1\;\text{m}\\[10pt] v_{0}=\dfrac{dx(0)}{dt}=-0,28\;\text{m/s} \end{array} \]
Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
a força elástica da mola é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=-kx} \tag{II-a} \end{gather} \]
a força de amortecimento é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{R}=-bv=-b\frac{dx}{dt}} \tag{II-b} \end{gather} \]
o sinal negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio), na força de amortecimento representa que ela atua contra o sentido da velocidade (atua no sentido de frear o movimento). Substituindo as expressões (II-a) e (II-b) na expressão (I)
\[ \begin{gather} -kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt] m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0 \end{gather} \]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela massa m
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0 \end{gather} \]
Substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{0,5}{0,1}\frac{dx}{dt}+\frac{0,6}{0,1}x=0\\[5pt] \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+5\frac{dx}{dt}+6x=0 \tag{III} \end{gather} \]
Solução de    \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+5\frac{dx}{dt}+6x=0 \)

A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[ \begin{array}{l} x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt] \dfrac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt] \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t} \end{array} \]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[ \begin{gather} \lambda^{2}\operatorname{e}^{\;\lambda t}+5\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+6\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt] \operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+5\lambda +6\right)=0\\[5pt] \lambda^{2}+5\lambda +6=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt] \lambda^{2}+5\lambda +6=0 \end{gather} \]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[ \begin{array}{l} \Delta =b^{2}-4ac=5^{2}-4.1.6=25-24=1\\ \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\dfrac{-5\pm\sqrt{1\;}}{2.1}=\dfrac{-5\pm1}{2}\\[10pt] \lambda_{1}=-2 \qquad \text{e} \qquad \lambda_{2}=-3 \end{array} \]
A solução da equação diferencial será
\[ \begin{gather} x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt] x=C_{1}\operatorname{e}^{-2t}+C_{2}\operatorname{e}^{-3t} \tag{IV} \end{gather} \]
onde C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=-2C_{1}\operatorname{e}^{-2t}-3C_{2}\operatorname{e}^{-3t} \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[ \begin{gather} x(0)=0,1=C_{1}\operatorname{e}^{-2.0}+C_{2}\operatorname{e}^{-3.0}\\[5pt] 0,1=C_{1}\operatorname{e}^{0}+C_{2}\operatorname{e}^{0}\\[5pt] 0,1=C_{1}+C_{2} \tag{VI} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{dx(0)}{dt}=-0,28=-2C_{1}\operatorname{e}^{-2.0}-3C_{2}\operatorname{e}^{-3.0}\\[5pt] -0,28=-2C_{1}\operatorname{e}^{0}-3C_{2}\operatorname{e}^{0}\\[5pt] -0,28=-2C_{1}-3C_{2} \tag{VII} \end{gather} \]
As expressões (VI) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (C1 e C2)
\[ \left\{ \begin{array}{l} C_{1}+C_{2}=0,1\\[5pt] -2C_{1}-3C_{2}=-0,28 \end{array} \right. \]
isolando o valor de C1 na primeira equação e substituindo na segunda
\[ \begin{gather} C_{1}=0,1-C_{2} \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} -2\left(0,1-C_{2}\right)-3C_{2}=-0,28\\[5pt] -0,2+2C_{2}-3C_{2}=-0,28\\[5pt] -C_{2}=-0,2+0,2\\[5pt] -C_{2}=-0,08\\[5pt] C_{2}=0,08 \end{gather} \]
substituindo este valor na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} C_{1}=0,1-0,08\\[5pt] C_{1}=0,02 \end{gather} \]
substituindo estas constantes na expressão (IV)
\[ x(t)=0,02\operatorname{e}^{-2t}+0,08\operatorname{e}^{-3t} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=0,02\operatorname{e}^{-2t}+0,08\operatorname{e}^{-3t}} \end{gather} \]

b) Como Δ > 0 este é um oscilador supercrítico.

c) Construção do gráfico de
\[ \begin{gather} x(t)=0,02\operatorname{e}^{-2t}+0,08\operatorname{e}^{-3t} \tag{IX} \end{gather} \]
Fazendo x(t) = 0 na expressão (IX) encontramos as raízes da função
\[ \begin{gather} x(t)=0,02\operatorname{e}^{-2t}+0,08\operatorname{e}^{-3t}=0\\[5pt] 0,02\operatorname{e}^{-2t}=-0,08\operatorname{e}^{-3t}\\[5pt] \frac{\operatorname{e}^{-2t}}{\operatorname{e}^{-3t}}=-{\frac{0,08}{0,02}}\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t}\operatorname{e}^{3t}=-4\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t+3t}=-4\\[5pt] \operatorname{e}^{t}=-4 \end{gather} \]
como não existe t real que satisfaça essa igualdade, a função x(t) não cruza o eixo-t. Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva, x(t) > 0, o gráfico esta acima do eixo-t .
Derivando a expressão (IX)
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=(-2).0,02\operatorname{e}^{-2t}+(-3).0,08\operatorname{e}^{-3t}\\[5pt] \frac{dx}{dt}=-0,04\operatorname{e}^{-2t}-0,24\operatorname{e}^{-3t} \tag{X} \end{gather} \]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa \( \left(\dfrac{dx(t)}{dt}<0\right) \) e a função decresce sempre. Fazendo   \( \dfrac{dx(t)}{dt}=0 \)   encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=-0,04\operatorname{e}^{-2t}-0,24\operatorname{e}^{-3t}=0\\[5pt] 0,04\operatorname{e}^{-2t}=-0,24\operatorname{e}^{-3t}\\[5pt] \frac{\operatorname{e}^{-2t}}{\operatorname{e}^{-3t}}=-{\frac{0,24}{0,04}}\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t}\operatorname{e}^{3t}=-6\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t+3t}=-6\\[5pt] \operatorname{e}^{t}=-6 \end{gather} \]
como não existe t real que satisfaça essa igualdade, não existem pontos de máximo ou mínimo da função.
Derivando uma segunda vez a função
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-(-2).0,04\operatorname{e}^{-2t}-(-3).0,24\operatorname{e}^{-3t}\\[5pt] \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0,08\operatorname{e}^{-2t}+0,72\operatorname{e}^{-3t} \tag{XI} \end{gather} \]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva \( \left(\dfrac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}>0\right) \) e a função possui “boca” voltada para cima. Fazendo   \(\dfrac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=0 \)   encontramos pontos de inflexão na função.
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0,08\operatorname{e}^{-2t}+0,72\operatorname{e}^{-3t}=0\\[5pt] 0,08\operatorname{e}^{-2t}=-0,72\operatorname{e}^{-3t}\\[5pt] \frac{\operatorname{e}^{-2t}}{\operatorname{e}^{-3t}}=-{\frac{0,72}{0,08}}\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t}.\operatorname{e}^{-3t}=-9\\[5pt] \operatorname{e}^{-2t+3t}=-9\\[5pt] \operatorname{e}^{t}=-9 \end{gather} \]
como não existe t que satisfaça essa igualdade, não existem pontos de inflexão na função.
Fazendo t = 0 na expressão (IX)
\[ \begin{gather}x(0)=0,02\operatorname{e}^{-2.0}+0,08\operatorname{e}^{-3.0}\\[5pt] x(0)=0,02\operatorname{e}^{0}+0,08\operatorname{e}^{0}\\[5pt] x(0)=0,02+0,08\\[5pt] x(0)=0,1 \end{gather} \]
Como a variável t representa o tempo, não tem sentido o cálculo de valores negativos, t < 0, para t tendendo a infinito
\[ \begin{split} \lim_{t\rightarrow \infty }x(t) &=\lim _{t\rightarrow\infty}\left[0,02\operatorname{e}^{-2t}+0,08\operatorname{e}^{-3t}\right]=\\[5pt] &=\lim_{t\rightarrow \infty}\left[\frac{0,02}{\operatorname{e}^{2t}}+\frac{0,08}{\operatorname{e}^{3t}}\right]=\\[5pt] &=\frac{0,02}{\operatorname{e}^{2.\infty}}+\frac{0,08}{\operatorname{e}^{3.\infty }}=0+0=0 \end{split} \]

Da análise feita acima traçamos o gráfico da posição em função do tempo (Gráfico 1).

Gráfico 1
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