Exercício Resolvido de Momento de Inércia
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Demonstre o Teorema dos Eixos Paralelos.


Esquema do problema:

Na Figura 1, dm é um elemento de massa do corpo, r é a distância do elemento de massa até o eixo perpendicular ao centro de massa do corpo, s é a distância do elemento de massa até um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa e d é a distância entre os dois eixos.
Figura 1

Solução

Na Figura 2 temos uma vista superior do corpo, o eixo do centro de massa e o eixo paralelo são perpendiculares à tela. Na figura x e y localizam o elemento de massa dm em relação ao centro de massa e xp e yp localizam o eixo paralelo em relação ao centro de massa.
O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I_{CM}=\int r^{2}\;dm} \tag{I} \end{gather} \]
da Figura 2, usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} r^{2}=x^{2}+y^{2} \tag{II} \end{gather} \]

Figura 2

substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} I_{CM}=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\;dm \tag{III} \end{gather} \]
O momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por
\[ \begin{gather} I=\int s^{2}\;dm \tag{IV} \end{gather} \]
da Figura 2 podemos escrever sx e sy
\[ \begin{gather} s_{x}=x-x_{p} \tag{V-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} s_{y}=y_{p}-y \tag{V-b} \end{gather} \]
usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} s^{2}=s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\\ s^{2}=(x-x_{p})^{2}+(y_{p}-y)^{2} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[ I=\int \left[(x-x_{p})^{2}+(y_{p}-y)^{2}\right]\;dm \]
Desenvolvendo o integrando pelo Produto Notável   \( (a-b)^{2}=a^{2}-2 ab+b^{2} \)
\[ \begin{gather} I=\int\left[x^{2}-2 xx_{p}+x_{p}^{2}+y_{p}^{2}-2 yy_{p}+y^{2}\right]\;dm\\ I=\int\left[\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 xx_{p}-2 yy_{p}+\left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}\right)\right]\;dm \end{gather} \]
a integral da soma de funções é igual soma das integrais
\[ I=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\;dm-\int2 xx_{p}\;dm-\int 2 yy_{p}\;dm+\int\left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}\right)\;dm \]
A primeira integral representa o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa dada pela expressão (III). Na segunda e terceira integrais os termos 2xp e 2yp são constantes e na quarta integral xp2+yp2 é constante, representa a distância entre os eixos, colocando esses termos para fora das integrais
\[ \begin{gather} I=I_{CM}-2x_{p}\int x\;dm-2y_{p}\int y\;dm+\left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}\right)\int \;dm \tag{VII} \end{gather} \]
Nas integrais   \( \int x\;dm=0 \)   e   \( \int y\;dm=0 \),   todos os elementos de massa multiplicados pela distância e somados são iguais a zero em relação ao centro de massa do corpo.

Observação:   \( \int r\;dm=0 \):

Temos um sistema formado por duas massas iguais a m e colocadas a mesma distância r do centro de massa do sistema. Adotamos um sistema de referência fixo no centro de massa. Calculando o produto das massas pela distância ao centro de massa e somando os resultados (Figura 3)

Figura 3
\[ \sum_{i}r_{i}m_{1}=rm+(-r)m=rm-rm=0 \]
Temos um outro sistema formado por duas massas diferentes com valores m e M e colocadas à distâncias rm e rM do centro de massa do sistema. Adotamos um sistema de referência fixo no centro de massa. Calculando o produto das massas pela distância ao centro de massa e somando os resultados (Figura 4)

Figura 4
\[ \sum_{i}r_{i}m_{1}=r_{m}m+(-r_{M})M=r_{m}m-r_{M}M=0 \]

As distâncias das massas ao Centro de massa são diferentes (rm > rM), mas as massas também são diferentes (m < M), isto faz com que os produtos rmm e rMM sejam iguais e somem zero.
Um outro sistema formado por três massas diferentes com valores m1, m2 e m3 e colocadas à distâncias r1 r2 e r3 do centro de massa do sistema. Adotamos um sistema de referência fixo no centro de massa. Decompondo os vetores posição na direções x e y, e calculando o produto das massas pela distância ao centro de massa ao longo das direções x e y e somando os resultados (Figuras 5-A e 5-B)
\[ \begin{split} \sum_{i}r_{xi}m_{i} &=-r_{1x}m_{1}+(-r_{2x})m_{2}+r_{3x}m_{3}=\\ &=-r_{1x}m_{1}-r_{2x}m_{2}+r_{3x}m_{3}=0 \end{split} \]
\[ \begin{split} \sum_{i}r_{yi}m_{i} &=r_{1y}m_{1}+(-r_{2y})m_{2}+0.m_{3}=\\ &=r_{1y}m_{1}-r_{2y}m_{2}+0=0 \end{split} \]
Figura 5

As distâncias das massas ao centro de massa são diferentes, mas as massas também são diferentes, isto faz com que os produtos rimi nas direções x e y sejam iguais e somem zero.

Para um corpo rígido de massa M, consideramos um elemento de massa dm dado pelo vetor posição r em relação ao centro de massa do sistema. Adotamos um sistema de referência fixo no centro de massa. Como temos uma distribuição de massa contínua passamos da somatória para a integral. A integração sobre todos os elementos de massa será igual a zero (Figura 6)
\[ \int r\;dm=0 \]

Figura 6

A integral   \( \int_{0}^{M}dm=M \),   representa a massa total do corpo. Na Figura 2 usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} d^{2}=x_{p}^{2}+y_{p}^{2} \tag{VIII} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII) o momento de inércia do corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {I=I_{CM}+Md^{2}} \tag{Q.E.D.} \end{gather} \]

Observação: Q.E.D é a abreviação da expressão em latim Quod Erat Demonstrandum que significa Como Queríamos Demonstrar.
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