Exercício Resolvido de Dinâmica

Uma partícula de massa m é abandonada em repouso, cai sob ação do seu peso e sofre uma força de resistência proporcional a velocidade de queda. Determinar:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade terminal;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A aceleração do movimento.

Dados do problema:

Massa da partícula: m;
Velocidade inicial da partícula: v₀ = 0;
Constante de proporcionalidade da força de resistência: b.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para baixo com origem no ponto onde a partícula é abandonada. Atuam na partícula a força peso P no sentido da queda e a força de resistência F_R que se opõe ao movimento.

Figura 1

Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf F}=m\mathbf{\dot v}} \]

\[ {\mathbf P}-{\mathbf F}_{R}=m\mathbf{\dot v} \]

a força peso é dada por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf P}=m{\mathbf g}} \]

e a força de resistência é dada por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf F}_{R}=b{\mathbf v}} \]

substituindo estas expressões

\[ mg\;{\mathbf j}-bv\;{\mathbf j}=m {\dot v}\;{\mathbf j} \]

como só existe movimento em uma dimensão temos em módulo

\[ mg-bv=m {\dot v} \]

escrevendo \( {\dot v}=\frac{dv}{dt} \) e separando as variáveis

\[ \begin{gather} mg-bv=m\frac{dv}{dt}\\ m\frac{dv}{dt}=b\left(\frac{mg}{b}-v\right)\\ \frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}=\frac{b}{m}dt \end{gather} \]

integrando a velocidade do lado esquerdo de 0 a v(t), a velocidade num instante t qualquer, e do lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer

\[ \begin{gather} \int_{0}^{{v(t)}}{\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}}=\int_{0}^{t}{\frac{b}{m}dt}\\ \int_{0}^{{v(t)}}{\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}}=\frac{b}{m}\int_{0}^{t}{dt} \end{gather} \]

Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{{v(t)}}{\dfrac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}} \)

fazendo a mudança de variável

\[ \begin{array}{l} u=\dfrac{mg}{b}-v\\ \dfrac{du}{dv}=-1\Rightarrow dv=-du \end{array} \]

fazendo a mudança dos extremos de integração

para    \( v=0 \)
temos    \( u=\dfrac{mg}{b} \)

para    \( v=v(t) \)
temos    \( u=\dfrac{mg}{b}-v(t) \)

substituindo na integral

\[ \begin{split} \int_{{\frac{mg}{b}}}^{{\frac{mg}{b}-v(t)}}{\frac{-du}{u}} &=-\left[\left.\ln u\;\right|_{\;\frac{mg}{b}}^{\;\frac{mg}{b}-v(t)}\right]=-\left[\ln\left(\frac{mg}{b}-v(t)\right)-\ln\left(\frac{mg}{b}\right)\right]=\\ &=-\ln\left(\frac{\dfrac{mg}{b}-v(t)}{\dfrac{mg}{b}}\right)=-\ln\left(\frac{\dfrac{mg-bv(t)}{\cancel{b}}}{\dfrac{mg}{\cancel{b}}}\right)=\\ &=-\ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right) \end{split} \]

Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{t}{dt'} \)

\[ \int_{0}^{t}{dt'}=\left.t'\;\right|_{\;0}^{\;t}=t-0=t \]

\[ \begin{gather} -\ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right)=\frac{b}{m}t\\[5pt] \ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right)=-{\frac{b}{m}}t\\[5pt] \frac{mg-bv(t)}{mg}=\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\\[5pt] mg-bv(t)=mg\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\\[5pt] bv(t)=mg-mg\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\\[5pt] bv(t)=mg\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right) \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)} \]

b) A velocidade terminal será encontrada fazendo o limite da expressão da velocidade quando \( t\rightarrow \infty \)

\[ \begin{split} v_{T}=\underset{t\rightarrow \infty }{\lim}v(t) &=\underset{t\rightarrow \infty }{\lim}{\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)}=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}\infty}\right)=\\[5pt] &=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-\infty}\right)=\frac{mg}{b}\left(1-\frac{1}{\operatorname{e}^{\infty}}\right)=\\[5pt] &=\frac{mg}{b}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)=\frac{mg}{b}\left(1-0\right) \end{split} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{T}=\frac{mg}{b}} \]

c) Sendo \( v=\dfrac{dx}{dt} \) a equação da velocidade acima por ser escrita

\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\\[5pt] dx=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)dt \end{gather} \]

integrando a posição do lado esquerdo de 0 a x(t), a posição num instante t qualquer, e do lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer

\[ \begin{gather} \int _{0}^{{x(t)}}{dx}=\int_{0}^{t}{\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}\right)dt}\\[5pt] \int_{0}^{{x(t)}}{dx}=\frac{mg}{b}\left(\int _{0}^{t}dt-\int_{0}^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}dt\right) \end{gather} \]

Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{{x(t)}}{dx} \)

\[ \int _{0}^{{x(t)}}{dx}=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;x(t)}=x(t)-0=x(t) \]

A integral de \( \displaystyle \int _{0}^{t}{dt} \) já foi calculada acima.

Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}dt \)

fazendo a mudança de variável

\[ \begin{array}{l} u=-{\dfrac{b}{m}}t\\ \dfrac{du}{dt}=-{\dfrac{b}{m}}\Rightarrow dt=-{\dfrac{m}{b}}du \end{array} \]

fazendo a mudança dos extremos de integração

para    \( t=0 \)
temos    \( u=-{\dfrac{b}{m}}.0=0 \)

para    \( t=t \)
temos    \( u=-{\dfrac{b}{m}}t \)

\[ \begin{split} \int_{0}^{{-{\frac{b}{m}}t}}-{\frac{m}{b}}\operatorname{e}^{u}du &=-\frac{m}{b}\int_{0}^{{-{\frac{b}{m}}t}}\operatorname{e}^{u}du\Rightarrow-\frac{m}{b}\left(\left.\operatorname{e}^{u}\;\right|_{\;0}^{\;-\frac{b}{m}t}\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow -\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\operatorname{e}^{0}\right)\Rightarrow-\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)=\\[5pt] &=\frac{m}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right) \end{split} \]

\[ x(t)=\frac{mg}{b}\left[t-\frac{m}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\right] \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=\frac{mg}{b}\left[t+\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)\right]} \]

d) A aceleração é encontrada derivando a expressão da velocidade \( a=\frac{dv}{dt} \)

\[ \begin{gather} a(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\right]\\[5pt] a(t)=\frac{mg}{b}\frac{d}{dt}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\\[5pt] a(t)=\frac{mg}{b}\left[0-\left(-{\frac{b}{m}}\right)\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right]\\[5pt] a(t)=\frac{\cancel{m}g}{\cancel{b}}\frac{\cancel{b}}{\cancel{m}}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a(t)=g\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}} \]

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