Um móvel está sobre um plano-xy, inicialmente em repouso na posição x0 sobre o
eixo-x positivo. Ele começa a se movimentar com velocidades constantes vx, no
sentido da origem, e vy no sentido do eixo-y positivo. Determinar depois de quanto
tempo este móvel se encontrará a distância mínima da origem e, qual é essa distância mínima.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel: x0;
- Velocidade do móvel na direção x: vx;
- Velocidade do móvel na direção y: vy.
Esquema do problema:
Como as componentes da velocidade são constantes a trajetória será uma reta (Figura 1-A).
Ao longo da trajetória o móvel passa sucessivamente pelos pontos P0, P1,
P2, PP, P3 e assim por diante. O ponto de menor
distância à origem será o ponto PP, onde a reta que liga este ponto a origem é
perpendicular a trajetória (Figura 1-B).
Solução:
Do triângulo em azul temos que a base mede
\( x_1=x_0-v_xt \)
e sua altura
\( y_1=v_yt \),
aplicando o
Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
g^2=(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2 \\[5pt]
g=[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2]^{\frac{1}{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
assim temos a distância do ponto de menor distância à origem como função do tempo.
Para encontrarmos o instante em que a
distância é mínima devemos derivar a equação (I) em função do
tempo e impor que ela seja igual a zero.
Derivada de
\( g=[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2]^{\frac{1}{2}} \)
A função
g(
t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{II}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=h^{\frac{\;1}{2}} \)
e
\( h(t)=(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2 \)
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=\frac{1}{2}h^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}h^{\frac{1-2}{2}}=\frac{1}{2}h^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{-{\frac{1}{2}}} \tag{III} \\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=\frac{d}{dt}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right] \tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\frac{d}{dt}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right] \tag{V}
\end{gather}
\]
a derivada da soma é a soma das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{dt}=\frac{d}{dt}(x_0-v_xt)^2+\frac{d}{dt}(v_yt)^2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[\frac{d}{dt}(x_0-v_xt)^2+\frac{d}{dt}(v_yt)^2\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
a primeira função entre parênteses é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dv}\;\frac{dw}{dt} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (VIII) ao termo
\( (x_0-v_xt)^2 \)
da equação (VII), com
\( f(w)=w^2 \)
e
\( w(t)=x_0-v_xt \),
as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{df}{dw}=2w^{2-1}=2w \tag{IX} \\[5pt]
&\frac{dw}{dt}=0-v_xt^{1-1}=-v_x \tag{X}
\end{align}
\]
substituindo as equações (IX) e (X) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=-2(x_0-v_xt)v_x \tag{XI}
\end{gather}
\]
a derivada do termo
\( (v_xt)^2 \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(v_yt)^2=\frac{d}{dt}(v_y^2t^2)=2v_y^2t \tag{XII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (XI) e (XII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[-2(x_0-v_xt)v_x+2v_y^2t\right] \\[5pt]
\frac{dg}{dt}=\frac{1}{2}\frac{\left[-2(x_0-v_xt)v_x+2v_y^2t\right]}{\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{\frac{1}{2}}} \\[5pt]
\frac{dg}{dt}=\frac{-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t}{\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{\frac{1}{2}}} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que a derivada deve ser nula
\( \left(\frac{dg}{dt}=0\right) \)
temos na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
\frac{-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t}{\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{\frac{1}{2}}}=0 \\[5pt]
-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t=0.\left[(x_0-v_xt)^2+(v_yt)^2\right]^{\frac{1}{2}} \\[5pt]
-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t=0 \\[5pt]
t(v_x^2+v_y^2)=x_0v_x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}}
\end{gather}
\]
Substituindo este valor na equação (I) temos a distância mínima do móvel à origem
\[
\begin{gather}
g=\sqrt{\left(x_0-v_x\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(v_y\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
g=\sqrt{\left(\frac{x_0(v_x^2+v_y^2)-x_0v_x^2}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(\frac{x_0v_xv_y}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
g=\sqrt{\left(\frac{{x}_0v_y^2}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(\frac{x_0v_x{v}_y}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^4+x_0^2v_x^2v_y^2}{(v_x^2+v_y^2)^2}\;} \\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^2(v_y^2+v_y^2)}{(v_x^2+v_y^2)^2}\;} \\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^2}{v_x^2+v_y^2}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{g=\frac{{x}_0v_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2\;}}}
\end{gather}
\]
EN
