Exercício Resolvido de Cinemática
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Um móvel está sobre um plano-xy, inicialmente em repouso na posição x0 sobre o eixo-x positivo. Ele começa a se movimentar com velocidades constantes vx, no sentido da origem, e vy no sentido do eixo-y positivo. Determinar depois de quanto tempo este móvel se encontrará a distância mínima da origem e, qual é essa distância mínima.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel: x0;
- Velocidade do móvel na direção x: vx;
- Velocidade do móvel na direção y: vy.
Como as componentes da velocidade são constantes a trajetória será uma reta (Figura 1-A).
Ao longo da trajetória o móvel passa sucessivamente pelos pontos P0, P1, P2, PP, P3 e assim por diante. O ponto de menor distância à origem será o ponto PP, onde a reta que liga este ponto a origem é perpendicular a trajetória (Figura 1-B).
Solução
Do triângulo em azul temos que a base mede
\( x_{1}=x_{0}-v_{x}t \)
e sua altura
\( y_{1}=v_{y}t \),
aplicando o Teorema de Pitágoras
Para encontrarmos o instante em que a distância é mínima devemos derivar a expressão (I) em função do tempo e impor que ela seja igual a zero.
\[
\begin{gather}
g^{2}=(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\\
g=[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}]^{\frac{1}{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
assim temos a distância do ponto de menor distância à origem como função do tempo.Para encontrarmos o instante em que a distância é mínima devemos derivar a expressão (I) em função do tempo e impor que ela seja igual a zero.
Derivada de \( g=[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}]^{\frac{1}{2}} \)
A função g(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
A função g(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{II}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=h^{\frac{\;1}{2}} \)
e
\( h(t)=(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2} \)
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=\frac{1}{2}h^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}h^{\frac{1-2}{2}}=\frac{1}{2}h^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}} \tag{III}\\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=\frac{d}{dt}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right] \tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\frac{d}{dt}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right] \tag{V}
\end{gather}
\]
a derivada da soma é a soma das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{dt}=\frac{d}{dt}(x_{0}-v_{x}t)^{2}+\frac{d}{dt}(v_{y}t)^{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[\frac{d}{dt}(x_{0}-v_{x}t)^{2}+\frac{d}{dt}(v_{y}t)^{2}\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
a primeira função entre parênteses é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dv}\;\frac{dw}{dt} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
aplicando a expressão (VIII) ao termo
\( (x_{0}-v_{x}t)^{2} \)
da expressão (VII), com
\( f(w)=w^{2} \)
e
\( w(t)=x_{0}-v_{x}t \),
as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{df}{dw}=2w^{2-1}=2w \tag{IX}\\[5pt]
&\frac{dw}{dt}=0-v_{x}t^{1-1}=-v_{x} \tag{X}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (IX) e (X) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=-2(x_{0}-v_{x}t)v_{x} \tag{XI}
\end{gather}
\]
a derivada do termo
\( (v_{x}t)^{2} \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(v_{y}t)^{2}=\frac{d}{dt}(v_{y}^{2}t^{2})=2v_{y}^{2}t \tag{XII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (XI) e (XII) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\frac{1}{2}\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[-2(x_{0}-v_{x}t)v_{x}+2v_{y}^{2}t\right]\\[5pt]
\frac{dg}{dt}=\frac{1}{2}\frac{\left[-2(x_{0}-v_{x}t)v_{x}+2v_{y}^{2}t\right]}{\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}\\[5pt]
\frac{dg}{dt}=\frac{-x_{0}v_{x}+v_{x}^{2}t+v_{y}^{2}t}{\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que a derivada deve ser nula \( \left(\dfrac{dg}{dt}=0\right) \) temos na expressão (XIII)
\[
\begin{gather}
\frac{-x_{0}v_{x}+v_{x}^{2}t+v_{y}^{2}t}{\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}=0\\
-x_{0}v_{x}+v_{x}^{2}t+v_{y}^{2}t=0.\left[(x_{0}-v_{x}t)^{2}+(v_{y}t)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\\
-x_{0}v_{x}+v_{x}^{2}t+v_{y}^{2}t=0\\t(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})=x_{0}v_{x}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{x_{0}v_{x}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}
\]
Substituindo este valor na expressão (I) temos a distância mínima do móvel à origem
\[
\begin{gather}
g=\sqrt{\left(x_{0}-v_{x}\frac{x_{0}v_{x}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}+\left(v_{y}\frac{x_{0}v_{x}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}\;}\\[5pt]
g=\sqrt{\left(\frac{x_{0}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})-x_{0}v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{0}v_{x}v_{y}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}\;}\\[5pt]
g=\sqrt{\left(\frac{{x}_{0}v_{y}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{0}v_{x}{v}_{y}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}\;}\\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}v_{y}^{4}+x_{0}^{2}v_{x}^{2}v_{y}^{2}}{(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})^{2}}\;}\\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}v_{y}^{2}(v_{y}^{2}+v_{y}^{2})}{(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})^{2}}\;}\\[5pt]
g=\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}v_{y}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{g=\frac{{x}_{0}v_{y}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\;}}}
\]
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