Exercício Resolvido de Cinemática
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Para um móvel, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obtenha as expressões para o cálculo da velocidade e do espaço percorrido em função do tempo a partir da expressão da aceleração instantânea.


Solução

A aceleração instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a=\frac{dv}{dt}} \]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{dv}{dt}\;dt}}=\int {{a\;dt}} \]
como a aceleração a é constante ela "sai" da integral e sendo \( \dfrac{dv}{dt}\;dt=dv \), e os limites de integração vão de v0, velocidade inicial, até v(t), a velocidade em um instante t qualquer para dv, e de t0, instante inicial, até t um instante qualquer para dt
\[ \begin{gather} \int_{{v_{0}}}^{{v(t)}}\;dv=a\int_{{t_{0}}}^{t}\;dt\\ \left.v\;\right|_{\;v_{0}}^{\;v(t)}=a\;\left.t\;\right|_{\;t_{0}}^{\;t}\\ v(t)-v_{0}=a\left(t-t_{0}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v(t)=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)} \]
que é a expressão da velocidade para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
A velocidade instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \]
\[ \frac{dx}{dt}=v_{0}+a \left(t-t_{0}\right) \]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int{{\left[v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)\right]\;dt}} \]
na integral do lado esquerdo \( \dfrac{dx}{dt}\;dt'=dx \), e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como v0, t0 e a são constantes elas “saem” da integral. Os limites de integração vão de x0, espaço inicial, até x(t), o espaço num instante t qualquer para dx, e de t0, instante inicial, até t um instante qualquer para dt
\[ \begin{gather} \int_{x_{0}}^{x(t)}dx=v_{0}\int_{t_{0}}^{t}\;dt+a\int_{t_{0}}^{t}t\;dt-at_{0}\int_{t_{0}}^{t}dt\\[5pt] \left.x\;\right|_{\;x_{0}}^{\;x(t)}=v_{0}\;\left.t\;\right|_{\;t_{0}}^{\;t}+a\;\left.\frac{t^{2}}{2}\;\right|_{\;t_{0}}^{\;t}-a t_{0}\;\left.t\;\right|_{\;t_{0}}^{\;t}\\[5pt] x(t)-x_{0}=v_{0}\left(t-t_{0}\right)+a\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t_{0}^{2}}{2}\right)-at_{0}\left(t-t_{0}\right)\\[5pt] x(t)=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+a\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t_{0}^{2}}{2}-t_{0}t+t_{0}^{2}\right)\\[5pt] x(t)=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+a\left(\frac{t^{2}}{2}-t_{0}t+\frac{t_{0}^{2}}{2}\right)\\[5pt] x(t)=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{a}{2}\left(t^{2}-2t_{0}t+t_{0}^{2}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{a}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}} \]
que é a expressão do espaço para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
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