Exercício Resolvido de Força Elétrtica e Campo Elétrico
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Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga q1 numa das metades
do aro e outra carga q2 na outra metade. Calcule o vetor campo elétrico num ponto
P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z do seu centro.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Carga de uma metade do aro: q1;
- Carga da outra metade do aro: q2;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
- Para a metade do aro com carga q1 entre 0 e π
\[
\begin{gather}
{\mathbf{r}}_{1}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q}
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 1-B), o vetor rq, que está no plano xy, é escrito como \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp só possui componente na direção k, \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \), o vetor posição será
\[
\begin{gather}
{\mathbf{r}}_{1}=z\;\mathbf{k}-\left(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)\\[5pt]
{\mathbf{r}}_{1}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão (I) o módulo do vetor posição r1 será
\[
\begin{gather}
r_{1}^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+z^{2}\\[5pt]
r_{1}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \theta \\
y=a\operatorname{sen} \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico desta metade do aro é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq_{1}}{r^{2}}\frac{{\mathbf{r}}}{r}}\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq_{1}}{r^{3}}{\mathbf{r}}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga λ1 obtemos o elemento de carga
dq1
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda_{1}=\frac{dq_{1}}{ds_{1}}\\[5pt]
dq_{1}=\lambda_{1}\;ds_{1} \tag{V}
\end{gather}
\]
Figura 2
onde ds1 é um elemento de arco de ângulo dθ1 do aro (Figura 2)
\[
\begin{gather}
ds_{1}=a\;d\theta_{1} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
dq_{1}=\lambda_{1}a\;d\theta_{1} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (I), (II) e (VII) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\;\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (III) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left[\left(a\cos \theta_{1}\right)^{2}+\left(a\operatorname{sen}\theta_{1}\right)^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta_{1}\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left[a^{2}\cos^{2}\theta_{1}+a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta_{1}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta_{1}\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left[a^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta_{1}+\operatorname{sen}^{2}\theta_{1}\right)}_{1}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta_{1}\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda_{1}a\;d\theta_{1}}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\cos \theta_{1}\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}
\end{gather}
\]
A densidade de carga λ1 e o raio a são constantes eles podem “sair” da integral, e
a integral da soma igual à soma das integrais
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda_{1}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int \cos \theta_{1}\;d\theta_{1}\;\mathbf{i}-a\int\operatorname{sen}\theta_{1}\;d\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\int \;d\theta_{1}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração, para esta metade do aro, serão 0 e π (meia volta - Figura 2)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{1}a}{\left(a^{2}+z^{2}\;\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int_{0}^{\pi}\cos \theta _{1}\;d\theta_{1}\;\mathbf{i}-a\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta_{1}\;d\theta_{1}\;\mathbf{j}+z\int_{0}^{\pi}\;d\theta_{1}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi }\cos \theta_{1}\;d\theta_{1} \)
1.º método
Figura 3
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\cos \theta_{1}\;d\theta_{1} &=\left.\operatorname{sen}\theta_{1}\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre 0 e π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \), e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 3).
O gráfico de cosseno entre 0 e π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \), e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 3).
Figura 3
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta_{1}\;d\theta_{1} \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta_{1}\;d\theta_{1} &=\left.-\cos\theta_{1}\;\right|_{\;0}^{\;\pi }=-(\cos \pi -\cos 0)\\
&=-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\;d\theta_{1} \)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{\pi}\;d\theta_{1}=\left.\theta_{1}\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\pi -0=\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{1}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a.0\;\mathbf{i}-2a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{1}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-2a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Figura 4
- Para a metade do aro com carga q2 entre π e 2π
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq_{2}}{r^{3}}\;{\mathbf{r}}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga (V) obtemos o elemento de carga dq2
\[
\begin{gather}
dq_{2}=\lambda_{2}\;ds_{2} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I), (II) e (XI) na expressão (X), temos uma expressão semelhante à expressão
(VIII)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{\lambda_{2}a\;d\theta_{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
Figura 5
substituindo as expressões de (III) na expressão (XII), e após as mesmas manipulações algébricas
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{2}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int \cos \theta_{2}\;d\theta_{\;2}\;\mathbf{i}-a\int\operatorname{sen}\theta_{2}\;d\theta_{2}\;\mathbf{j}+z\int \;d\theta_{2}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração, para esta metade do aro, serão π e 2π (meia volta - Figura 5)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda_{2}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos \theta_{2}\;d\theta_{2}\;\mathbf{i}-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_{2}\;d\theta_{2}\;\mathbf{j}+z\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_{2}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\cos \theta_{2}\;d\theta_{2} \)
1.º método
Figura 6
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos \theta_{2}\;d\theta_{2} &=\left.\operatorname{sen}\theta_{2}\;\right|_{\;\pi }^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi -\operatorname{sen}\pi =\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre π e 2π possui uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e \( \frac{3\pi}{2} \) e uma área “positiva” acima do eixo-x, entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 6).
O gráfico de cosseno entre π e 2π possui uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e \( \frac{3\pi}{2} \) e uma área “positiva” acima do eixo-x, entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 6).
Figura 6
Integral de \( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_{2}\;d\theta_{2} \)
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_{2}\;d\theta_{2} &=\left.-\cos \theta_{2}\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi \cos \pi )=\\
&=-[1-(-1)]=-(2)=-2
\end{align}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_{2} \)
\[
\begin{gather}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_{2}=\left.\theta_{2}\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=2\pi -\pi =\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{2}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[-a.0\;\mathbf{i}-(-2)a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right]\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\lambda_{2}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(2a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Figura 7
O vetor campo elétrico total será dado pela soma das expressões (IX) e (XIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}={\mathbf{E}}_{1}+{\mathbf{E}}_{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda_{1}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-2a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right)+\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda_{2}a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(2a\;\mathbf{j}+\pi z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-2a\lambda_{1}\;\mathbf{j}+\pi z\lambda_{1}\;\mathbf{k}+2a\lambda_{2}\;\mathbf{j}+\pi z\lambda_{2}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[2a\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\;\mathbf{j}+\pi z\left(\;\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\;\mathbf{k}\right] \tag{XIV}
\end{gather}
\]
A carga total de cada metade do aro são q1 e q2 e os seus comprimentos
são πa, assim a densidade linear de carga de cada metade será
\[
\begin{gather}
\lambda_{1}=\frac{q_{1}}{\pi a}\qquad \text{e}\qquad \lambda_{2}=\frac{q_{2}}{\pi a}
\end{gather}
\]
substituindo estas expressões na expressão (XIV)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[2a\left(\frac{q_{2}}{\pi a}-\frac{q_{1}}{\pi a}\right)\;\mathbf{j}+\pi z\left(\frac{q_{1}}{\pi a}+\frac{q_{2}}{\pi a}\right)\;\mathbf{\text{k}}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[\frac{2\cancel{a}}{\pi \cancel{a}}\left(q_{2}-q_{1}\right)\;\mathbf{j}+\frac{\cancel{\pi} z}{\cancel{\pi} a}\left(q_{1}+q_{2}\right)\;\mathbf{k}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[\frac{2}{\pi}\left(q_{2}-q_{1}\right)\;\mathbf{j}+\frac{z}{a}\left(q_{1}+q_{2}\right)\;\mathbf{k}\right]}
\end{gather}
\]
Observação: Se a carga q1 for maior que a carga q2, o
termo na direção j será negativo
\( q_{2}-q_{1}<0 \)
e o vetor campo elétrico estará “caído” para o −j (Figura 8-A); se a carga
q1 for menor que a carga q2, o termo na direção j será positivo,
\( q_{2}-q_{1}>0 \),
e o vetor campo elétrico estará “caído” para o +j (Figura 8-B); se as cargas q1
e q2 forem iguais
\( \left(q_{1}=q_{2}=\frac{Q}{2}\right) \),
cada metade do aro possui carga
\( \frac{Q}{2} \),
então na expressão vetor campo elétrico
Figura 8
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[\frac{2}{\pi}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2}\right)}_{0}\;\mathbf{j}+\frac{z}{a}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}+\frac{Q}{2}\right)}_{Q}\;\mathbf{k}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[\frac{2}{\pi}.0\;\mathbf{j}+\frac{z}{a}Q\;\mathbf{k}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\cancel{a}}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{z}{\cancel{a}}Q\;\mathbf{k}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Qz}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\;\mathbf{k}
\end{gather}
\]
esse é o vetor campo elétrico de um aro uniformemente carregado.(Figura 8-C).
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