Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga Q. O campo elétrico produzido
por este aro nos pontos sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z
é dado, em módulo, por
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}
\end{gather}
\]
Determine:
a) Para quais valores de z o campo elétrico é máximo;
b) Qual é este valor máximo?
Solução:
a) Para encontramos o valor máximo do campo elétrico devemos derivar a função do campo elétrico em função de z, E(z), e igualar a zero
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dz}=0
\end{gather}
\]
Derivada de
\( \displaystyle E(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \)
A função E(z) é o quociente de dua funções, usando a regra da derivada do quociente
A função E(z) é o quociente de dua funções, usando a regra da derivada do quociente
\[
\begin{gather}
\left(\frac{u}{v}\right)^{'}=\frac{u'v-uv'}{v^2}
\end{gather}
\]
onde
\( u(z)=z \)
e
\( v(z)=\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \)
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\dfrac{d(z)}{dz}\left(a^2+z^2\right)^{3/2}-(z)\dfrac{d\left[\left(a^2+z^2\right)^{3/2}\right]}{dz}}{\left[\left(a^2+z^2\right)^{3/2}\right]^2}
\end{gather}
\]
a função v(z) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(z)]}{dz}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dz}
\end{gather}
\]
onde
\( v(w)=w^{3/2} \)
e
\( w(z)=a^2+z^2 \)
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1\times\left(a^2+z^2\right)^{3/2}-z\left[\dfrac{d\left(w^{3/2}\right)}{dg}\dfrac{d\left(a^2+z^2\right)}{dz}\right]}{\left(a^2+z^2\right)^3} \\[5pt]
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}-z\left[\left(\dfrac{3}{\cancel 2}w^{\frac{3}{\cancel 2}-1}\right)(\cancel 2 z)\right]}{\left(a^2+z^2\right)^3} \\[5pt]
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}-3\left(a^2+z^2\right)^{1/2}z^2}{\left(a^2+z^2\right)^3} \\[5pt]
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+z^2\right)^3}-\frac{3\left(a^2+z^2\right)^{1/2}z^2}{\left(a^2+z^2\right)^3}\right] \\[5pt]
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^3\left(a^2+z^2\right)^{-3/2}}-\frac{3z^2}{\left(a^2+z^2\right)^3\left(a^2+z^2\right)^{-1/2}}\right] \\[5pt]
\frac{dE}{dz}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}-\frac{3z^2}{\left(a^2+z^2\right)^{5/2}}\right]
\end{gather}
\]
Igualando a derivada a zero
\[
\begin{gather}
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}-\frac{3z^2}{\left(a^2+z^2\right)^{5/2}}\right]=0 \\[5pt]
\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{3z^2}{\left(a^2+z^2\right)^{5/2}} \\[5pt]
\frac{\left(a^2+z^2\right)^{5/2}}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}=3z^2 \\[5pt]
\left(a^2+z^2\right)^{5/2}\left(a^2+z^2\right)^{-3/2}=3z^2 \\[5pt]
\left(a^2+z^2\right)^{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}=3z^2 \\[5pt]
\left(a^2+z^2\right)^{\frac{2}{2}}=3z^2 \\[5pt]
a^2+z^2=3z^2 \\[5pt]
3z^2-z^2=a^2 \\[5pt]
z^2=\frac{a^2}{2} \\[5pt]
z=\sqrt{\frac{a^2}{2}} \\[5pt]
z=\pm{\frac{a}{\sqrt 2}\times\frac{\sqrt 2}{\sqrt{2}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{z=\frac{a\sqrt{2}}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{z=-{\frac{a\sqrt{2}}{2}}}
\end{gather}
\]
b) Substituindo os valores de z encontrados no item (a) na equação dada no problema
\[
\begin{gather}
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\dfrac{a\sqrt 2}{2}}{\left[a^2+\left(\dfrac{a\sqrt 2}{2}\right)^2\right]^{3/2}} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left[a^2+\dfrac{a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left[\dfrac{2a^2+a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left[\dfrac{3a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\dfrac{3a^2}{2}\left[\dfrac{3a^2}{2}\right]^{1/2}}\frac{a\sqrt 2}{2} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\dfrac{3a^2}{\cancel 2}\dfrac{\cancel a\sqrt 3}{\sqrt 2}}\frac{\cancel a\sqrt 2}{\cancel 2} \\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{3a^2\sqrt 3}\sqrt 2\times\sqrt 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{2Q}{3\sqrt 3 a^2}}
\end{gather}
\]
Observação: O cálculo feito com o valor
\( z=-{\frac{a\sqrt 2}{2}} \)
dá o resultado
\[
\begin{gather}
E=-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\frac{2Q}{3\sqrt 3 a^2}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que o vetor campo elétrico está apontando na direção oposta ao vetor
unitário k (Figura 1).
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