Uma parede constitui-se de duas chapas sobrepostas, feitas de diferentes materiais. Os coeficientes de
condutibilidade térmica e as espessuras das chapas são iguais k1, d1
e k2, d2 respectivamente. As temperaturas das superfícies externas
das paredes são iguais a T1 e T2 (T1 >
T2) e mantêm-se constantes. Determinar:
a) A temperatura na superfície de interface entre as duas chapas;
b) Se as espessuras das duas chapas forem iguais, qual o coeficiente de condutibilidade térmica da parede.
Dados do problema:
- Coeficiente de condutibilidade térmica da chapa 1: k1;
- Espessura da chapa 1: d1;
- Temperatura externa da chapa 1: T1;
- Coeficiente de condutibilidade térmica da chapa 2: k2;
- Espessura da chapa 2: d2;
- Temperatura externa da chapa 2: T2.
Solução:
a) O fluxo de calor é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\phi=kA\frac{\left(t_1-t_2\right)}{e}}
\end{gather}
\]
O calor passa do meio de maior temperatura T1 para o meio de menor temperatura
T2, sendo Ti a temperatura na interface das duas chapas e A a
área delas, o fluxo através da chapa 1 é dado por
\[
\begin{gather}
\phi_1=k_1A\frac{\left(T_1-T_i\right)}{d_1} \tag{I}
\end{gather}
\]
o fluxo através da chapa 2 é dado por
\[
\begin{gather}
\phi_2=k_2A\frac{\left(T_i-T_2\right)}{d_2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Como as superfícies são mantidas às temperaturas constantes o fluxo de calor está em regime estacionário
(Figura 1), os fluxos através das duas superfícies devem ser iguais
\[
\begin{gather}
\phi_1=\phi_2 \\[5pt]
k_1\cancel A\frac{\left(T_1-T_i\right)}{d_1}=k_2\cancel A\frac{\left(T_i-T_2\right)}{d_2} \\[5pt]
k_1\frac{\left(T_1-T_i\right)}{d_1}=k_2\frac{\left(T_i-T_2\right)}{d_2}
\end{gather}
\]
multiplicando em “cruz”
\[
\begin{gather}
k_1d_2\left(T_1-T_i\right)=k_2d_1\left(T_i-T_2\right) \\[5pt]
k_1d_2T_1-k_1d_2T_i=k_2d_1T_i-k_2d_1T_2 \\[5pt]
k_2d_1T_i+k_1d_2T_i=k_1d_2T_1+k_2d_1T_2 \\[5pt]
T_i\left(k_2d_1+k_1d_2\right)=k_1d_2T_1+k_2d_1T_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_i=\frac{k_1d_2T_1+k_2d_1T_2}{k_2d_1+k_1d_2}}
\end{gather}
\]
b) Para espessuras iguais (d1 = d2 = d) a equação obtida no
item anterior para a temperatura na interface se reduz a
\[
\begin{gather}
T_i=\frac{k_1dT_1+k_2dT_2}{k_2d+k_1d}
\end{gather}
\]
colocando a espessura d em evidência no numerador e no denominador
\[
\begin{gather}
T_i=\frac{\cancel d\left(k_1T_1+k_2T_2\right)}{\cancel d\left(k_2+k_1\right)} \\[5pt]
T_i=\frac{k_1T_1+k_2T_2}{k_2+k_1} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação (I) e d1 = d
\[
\begin{gather}
\phi_1=k_1A\frac{\left(T_1-\dfrac{k_1T_1+k_2T_2}{k_2+k_1}\right)}{d}
\end{gather}
\]
colocando os termos entre parênteses sobre o mesmo denominador (k2+k1)
\[
\begin{gather}
\phi_1=k_1A\frac{\left(\dfrac{T_1\left(k_2+k_1\right)-k_1T_1-k_2T_2}{k_2+k_1}\right)}{d} \\[5pt]
\phi_1=k_1\frac{A}{d}\left(\frac{k_2T_1+k_1T_1-k_1T_1-k_2T_2}{k_2+k_1}\right) \\[5pt]
\phi_1=k_1\frac{A}{d}\left(\frac{k_2T_1-k_2T_2}{k_2+k_1}\right)
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \dfrac{k_2}{k_2+k_1} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\phi_1=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\frac{A}{d}\left(T_1-T_2\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
A espessura total será de 2
d e sendo
k o coeficiente de condutibilidade térmica
do conjunto, o fluxo de calor através da parede como um todo pode ser escrito como (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\phi=kA\frac{\left(T_1-T_2\right)}{2d} \tag{V}
\end{gather}
\]
Como o regime de fluxo é estacionário as equações (IV) e (V) devem ser iguais
\[
\begin{gather}
\phi=\phi_1 \\[5pt]
k\frac{A}{2d}\left(T_1-T_2\right)=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\frac{A}{d}\left(T_1-T_2\right) \\[5pt]
\frac{k}{2}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{k=\frac{2k_1k_2}{k_1+k_2}}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos substituir a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\phi_2=k_2A\frac{\left(\dfrac{k_1T_1+k_2T_2}{k_2+k_1}-T_2\right)}{d}
\end{gather}
\]
colocando os termos entre parênteses no mesmo denominador (
k2+
k1)
\[
\begin{gather}
\phi_2=k_2A\frac{\left(\dfrac{k_1T_1+k_2T_2-T_2\left(k_2+k_1\right)}{k_2+k_1}\right)}{d} \\[5pt]
\phi_2=k_2\frac{A}{d}\left(\frac{k_1T_1+k_2T_2-k_1T_2-k_1T_2}{k_2+k_1}\right) \\[5pt]
\phi_2=k_2\frac{A}{d}\left(\frac{k_1T_1-k_1T_2}{k_2+k_1}\right)
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \dfrac{k_1}{k_2+k_1} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\phi_2=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\frac{A}{d}\left(T_1-T_2\right)
\end{gather}
\]
Este resultado é equivalente à equação (IV) encontrada acima.
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