Exercício Resolvido de Gases
Português
English
publicidade
Um barômetro de mercúrio possui uma pequena quantidade de ar na parte superior do tubo, em virtude disso
suas leituras são incorretas. Para uma leitura real de pressão de 756 mm de mercúrio ele indica 748 mm
e para uma leitura real de 738 mm ele indica 734 mm.
a) Qual o comprimento L do tubo deste barômetro?
b) Para uma leitura de 745 mm de mercúrio, qual a pressão atmosférica real?
a) Qual o comprimento L do tubo deste barômetro?
b) Para uma leitura de 745 mm de mercúrio, qual a pressão atmosférica real?
Dados do problema:
- Pressão real na situação 1: pr1 = 756 mm Hg;
- Pressão indicada na situação 1: pi1 = 748 mm Hg;
- Pressão real na situação 2: pr2 = 738 mm Hg;
- Pressão indicada na situação 2: pi2 = 734 mm Hg.
Solução
a) Inicialmente (Figura 1-A) a pressão real do local é de 756 mm, o valor indicado pela coluna de mercúrio do barômetro é de 748 mm, como L é o comprimento total do tubo, a altura da coluna de ar presa na parte superior do barômetro é
\[
\begin{gather}
h_{1}=L-p_{i1} \tag{I}
\end{gather}
\]
A pressão atmosférica, pr1, é equilibrada pela pressão da coluna de mercúrio,
pi1, e do ar dentro do tubo, p1
\[
\begin{gather}
p_{r1}=p_{i1}+p_{1}\\[5pt]
p_{1}=p_{r1}-p_{i1} \tag{II}
\end{gather}
\]
Na situação final (Figura 1-B) a pressão real é de 738 mm e a leitura do barômetro é de 734 mm, a
altura da coluna de ar será
\[
\begin{gather}
h_{2}=L-p_{i2} \tag{III}
\end{gather}
\]
Novamente a pressão atmosférica é equilibrada pela pressão da coluna de mercúrio e do ar dentro do tubo
\[
\begin{gather}
p_{r2}=p_{i2}+p_{2}\\[5pt]
p_{2}=p_{r2}-p_{i2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Aplicando Lei Geral dos Gases Perfeitos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}}
\end{gather}
\]
como as temperaturas inicial e final são iguais, T1 = T2, temos uma
transformação isotérmica dada pela Lei de Boyle
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Sendo A a área da seção transversal do tubo do barômetro, os volumes das colunas de ar na parte
superior do tubo, nas duas situações são dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=Ah}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{1}=Ah_{1} \tag{VI-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{2}=Ah_{2} \tag{VI-b}
\end{gather}
\]
substituindo os valores das expressões (VI-a) e (VI-b) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
p_{1}\cancel{A}h_{1}=p_{2}\cancel{A}h_{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I), (II), (III) e (IV) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
(p_{r1}-p_{i1})(L-p_{i1})=(p_{r2}-p_{i2})(L-p_{i2})\\[5pt]
(p_{r1}-p_{i1})L-(p_{r1}-p_{i1})p_{i1}=(p_{r2}-p_{i2})L-(p_{r2}-p_{i2})p_{i2}\\[5pt]
(p_{r1}-p_{i1})L-(p_{r2}-p_{i2})L=(p_{r1}-p_{i1})p_{i1}-(p_{r2}-p_{i2})p_{i2}\\[5pt]
L[(p_{r1}-p_{i1})-(p_{r2}-p_{i2})]=(p_{r1}-p_{i1})p_{i1}-(p_{r2}-p_{i2})p_{i2}\\[5pt]
L=\frac{(p_{r1}-p_{i1})p_{i1}-(p_{r2}-p_{i2})p_{i2}}{(p_{r1}-p_{i1})-(p_{r2}-p_{i2})} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema temos o comprimento do tubo
\[
\begin{gather}
L=\frac{(756-748).748-(738-734).734}{(756-748)-(738-734)}\\[5pt]
L=\frac{8.748-4.734}{8-4}\\[5pt]
L=\frac{8.748-4.734}{4}\\[5pt]
L=\frac{\cancel{4}(2.748-734)}{\cancel{4}}\\[5pt]
L=1496-734
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L=762\;\text{mm}}
\end{gather}
\]
b) Para uma pressão indicada de pL = 745 mm, e usando o valor encontrado no item anterior, a pressão atmosférica real pode ser encontrada usando-se a expressão (VIII). Substituindo-se os valores da situação mostrada na Figura 1-A e sendo pi2 = pi e pr2 = pr o valor desejado
\[
\begin{gather}
762=\frac{(756-748).748-(p_{r}-745).745}{(756-748)-(p_{r}-745)}\\[5pt]
762=\frac{8.748-(p_{r}-745).745}{8-(p_{r}-745)}\\[5pt]
762.[8-(p_{r}-745)]=8.748-(p_{r}-745).745\\[5pt]
8.762-(p_{r}-745).762=8.748-(p_{r}-745).745\\[5pt]
(p_{r}-745).762-(p_{r}-745).745=8.762-8.748\\[5pt]
(p_{r}-745).(762-745)=8.(762-748)\\[5pt]
(p_{r}-745).17=8.14\\[5pt]
p_{r}-745=\frac{8.14}{17}\\[5pt]
p_{r}=745+6,6
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{p_{r}=751,6\;\text{mm Hg}}
\end{gather}
\]
Observação: Da mesma forma se substituíssemos os valores da situação mostrada na Figura 1-B
sendo pi1 = pi e pr1 =
pr o valor desejado
\[
\begin{gather}
762=\frac{(p_{r}-745).745-(738-734).734}{(p_{r}-745)-(738-734)}\\[5pt]
762=\frac{(p_{r}-745).745-4.734}{(p_{r}-745)-4}\\[5pt]
762.[(p_{r}-745)-4]=(p_{r}-745).745-4.734\\[5pt]
(p_{r}-745).762-4.762=(p_{r}-745).745-4.734\\[5pt]
(p_{r}-745).762-(p_{r}-745).745=4.762-4.734\\[5pt]
(p_{r}-745).(762-745)=4.(762-734)\\[5pt]
(p_{r}-745).17=4.28\\[5pt]
p_{r}-745=\frac{4.28}{17}\\[5pt]
p_{r}=745+6,6\\[5pt]
p_{r}=751,6\;\text{mm Hg}
\end{gather}
\]
e obtemos o mesmo resultado do item (b).
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .