Exercício Resolvido de Gases
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Um capilar fechado na extremidade inferior e aberto na superior, possui ar preso na parte inferior,
por uma coluna de mercúrio como mostrado na figura. O capilar é inclinado de 60° em relação à
vertical, qual o comprimento da coluna de ar nesta condição? Dado: pressão do ar no local
1,0.105 Pa, densidade do mercúrio 13,6 g/cm3, aceleração da gravidade local
9,8 m/s2.
Dados do problema:
- Altura da coluna de mercúrio: h = 15 cm;
- Altura inicial da coluna de ar: h1 = 20 cm;
- Inclinação do capilar: 60°;
- Pressão atmosférica no local: p0 = 1,0.105 Pa;
- Densidade do mercúrio: μ = 13,6 g/cm3;
- Aceleração da gravidade no local: g = 9,8 m/s2.
Na situação inicial (Figura 1-A) a coluna de ar está sob a ação da pressão da coluna de mercúrio e da pressão atmosférica. Quando o capilar é inclinado temos da Hidrostática que apenas a componente vertical, H, contribui para fazer pressão sobre a coluna de ar (Figura 1-B).
Esta situação é equivalente ao capilar na vertical com a coluna de ar presa por uma coluna de mercúrio de altura H e pela pressão atmosférica (Figura 1-C).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a densidade do mercúrio dada em gramas por centímetro cúbico (g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) e as medidas do capilar dadas em centímetros (cm) para metros (m) usados no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{gather}
\mu=13,6\;\frac{\cancel{\text{g}}}{\text{cm}^{3}}.\frac{10^{-3}\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{g}}}.\frac{(1\;\text{cm})^{3}}{(10^{-2}\;\text{m})^{3}}=13,6\;\frac{1}{\cancel{\text{cm}^{3}}}\;\text{kg}.\frac{1\;\cancel{\text{cm}^{3}}}{10^{-6}\;\text{m}^{3}}=13,6.10^{-3}.10^{6}\;\frac{\text{kg}}{\;\text{m}^{3}}=13,6.10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\;\text{m}^{3}}\\[10pt]
h=15\;\text{cm}=15.10^{-2}\;\text{m}=0,15\;\text{m}\\[10pt]
h_{1}=20\;\text{cm}=20.10^{-2}\;\text{m}=0,20\;\text{m}
\end{gather}
\]
Usando Lei Geral dos Gases Perfeitos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}}
\end{gather}
\]
como as temperaturas, inicial e final, são iguais, T1 = T2, temos uma
transformação isotérmica dada pela Lei de Boyle
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
A pressão é dada pela Lei de Stevin
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{p=p_{0}+\mu gh} \tag{II}
\end{gather}
\]
sendo o capilar um cilindro o volume é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=Ah} \tag{III}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (II) para a situação inicial
\[
\begin{gather}
p_{1}=p_{0}+\mu gh \tag{IV}
\end{gather}
\]
aplicando a expressão (III) temos o volume do capilar
\[
\begin{gather}
V_{1}=Ah_{1} \tag{V}
\end{gather}
\]
Depois de inclinado o capilar, a pressão sobre a coluna de ar (pressão do ar mais a pressão da componente
vertical da coluna de mercúrio), será dada aplicando a expressão (II)
\[
\begin{gather}
p_{2}=p_{0}+\mu gH
\end{gather}
\]
onde a altura H vale (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
\cos 60°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{H}{h}\\H=h\cos 60°
\end{gather}
\]
portanto
\[
\begin{gather}
p_{2}=p_{0}+\mu gh\cos 60° \tag{VI}
\end{gather}
\]
e para o volume da coluna de ar
\[
\begin{gather}
V_{2}=Ah_{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (IV), (V), (VI) e (VII) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
(p_{0}+\mu gh)Ah_{1}=(p_{0}+\mu gh\cos 60°)Ah_{2}\\[5pt]
(p_{0}+\mu gh)h_{1}=(p_{0}+\mu gh\cos 60°)h_{2}\\[5pt]
h_{2}=\frac{(p_{0}+\mu gh)h_{1}}{p_{0}+\mu gh\cos 60°}
\end{gather}
\]
substituindo os dados numéricos do problema e sendo
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
h_{2}=\frac{(1,0.10^{5}+13,6.10^{3}.9,8.0,15).0,20}{1,0.10^{5}+13,6.10^{3}.9,8.0,15.\dfrac{1}{2}}\\[5pt]
h_{2}=0,22\;\text{m}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{h_{2}=22\;\text{cm}}
\end{gather}
\]
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