Exercício Resolvido de Gases
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Um recipiente metálico de certa capacidade está cheio de ar a 27 °C. Aquece-se o conjunto; a pressão permanece constante em virtude da ação de uma válvula que permite o escape de ar. A que temperatura deve ser levado o conjunto para que escape 10% da massa de ar inicialamente colocada no recipiente? O coeficiente de dilatação cúbica do metal é 0,0005 °C−1 e o ar é suposto um gás perfeito.


Dados do problema:
  • Coeficiente de dilatação cúbica do metal:    γ = 0,005 °C−1;
Estado inicial Estado final
p1 = p p2 = p
V1 V2
T1 = 27 °C = 300 K T2
n1 n2 = 0,90 n1

Esquema do problema:

Como queremos que escape 10% da massa de ar, deve sobrar no recipiente os outros 90% da massa. Como existe uma relação direta entre a massa de um gás e seu número de mols, portanto, se escapa do recipiente 10% da massa, então, escapa 10% do número de mols do gás, e 90% permanecem no recipiente (Figura 1).
Figura 1

Solução

Como o gás é considerado perfeito podemos usar a Equação de Clapeyron para gases ideais
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {pV=nRT} \end{gather} \]
aplicado às situações inicial e final
\[ \begin{gather} p_{1}V_{1}=n_{1}RT_{1} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} p_{2}V_{2}=n_{2}RT_{2} \tag{II} \end{gather} \]
onde R é a constante universal dos gases, dividindo a expressão (I) pela expressão (II)
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{p}V_{1}}{\cancel{p}V_{2}}=\frac{n_{1}\cancel{R}T_{1}}{n_{2}\cancel{R}T_{2}}\\[5pt] \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{n_{1}T_{1}}{n_{2}T_{2}} \tag{III} \end{gather} \]
Para determinar a relação entre os volumes inicial, V1, e final, V2 lembremos de que o recipiente sofre dilatação durante o processo de aquecimento, a dilatação volumétrica do recipiente é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta V=V_{0}\gamma \Delta t} \end{gather} \]
aplicando ao problema,   ΔV = V2 − V1,   V0 = V1   e   ΔT = T2 − T1
\[ \begin{gather} V_{2}-V_{1}=V_{1}\gamma(T_{2}-T_{1})\\[5pt] V_{2}=V_{1}+V_{1}\gamma(T_{2}-T_{1})\\[5pt] V_{2}=V_{1}[1+\gamma(T_{2}-T_{1})]\\[5pt] \frac{V_{2}}{V_{1}}=1+\gamma(T_{2}-T_{1}) \tag{IV} \end{gather} \]
invertendo a fração da expressão (III) e substituindo na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \frac{n_{2}T_{2}}{n_{1}T_{1}}=1+\gamma (T_{2}-T_{1}) \end{gather} \]
isolando o valor de T2
\[ \begin{gather} \frac{n_{2}T_{2}}{n_{1}T_{1}}=1+\gamma T_{2}-\gamma T_{1}\\[5pt] \frac{n_{2}T_{2}}{n_{1}T_{1}}-\gamma T_{2}=1-\gamma T_{1}\\[5pt] T_{2}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}T_{1}}-\gamma \right)=1-\gamma T_{1}\\[5pt] T_{2}=\frac{1-\gamma T_{1}}{\dfrac{n_{2}}{n_{1}T_{1}}-\gamma} \end{gather} \]
dos dados   \( \dfrac{n_{2}}{n_{1}}=0,90 \)   e substituindo os valores
\[ \begin{gather} T_{2}=\frac{1-0,0005.300}{\dfrac{0,90}{300}-0,0005}\\[5pt] T_{2}=\frac{1-0,15}{0,003-0,0005}\\[5pt] T_{2}=\frac{0,85}{0,0025}\\[5pt] T_{2}=340\;\text{K} \end{gather} \]
Convertendo de Kelvins (K) para graus Celsius (°C)
\[ \begin{gather} T=t_{C}+273\\[5pt] t_{C}=T-273\\[5pt] t_{C}=340-273\\[5pt] t_{C}=67 \;°\text{C} \end{gather} \]
A temperatura final será de   340 K   ou   67 ºC.
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